Question

（2009•甘孜州）已知：如圖，圓內(nèi)接四邊形ABCD的兩邊AB，DC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E，DF經(jīng)過(guò)⊙O的圓心，交AB于點(diǎn)F，AB=BE，連接AC，且OD=3，F(xiàn)A=FB=

5

．
（1）求證：△DAC∽△DEA；
（2）求出DA，AC的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析：（1）由DF過(guò)圓心，且AF=BF，利用垂徑定理的逆定理得到DF垂直于AB，且D為優(yōu)弧ADB的中點(diǎn)，得到兩條弧相等，根據(jù)等弧所對(duì)的圓周角相等可得出一對(duì)角相等，再由一對(duì)公共角相等，利用兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等的兩三角形相似可得出三角形DAC與三角形DEA相似；
（2）連接OA，由第一問(wèn)得出DF與AB垂直，得到三角形AOF為直角三角形，根據(jù)OA及AF的長(zhǎng)，利用勾股定理求出OF的長(zhǎng)，再由DF=OD+OF求出DF的長(zhǎng)，在直角三角形ADF中，由AF及DF的長(zhǎng)，利用勾股定理即可求出AD的長(zhǎng)；由AB=BE=2AF=2BF，根據(jù)FB的長(zhǎng)求出EF的長(zhǎng)，在直角三角形DEF中，由DF及EF的長(zhǎng)，利用勾股定理求出DE的長(zhǎng)，同時(shí)根據(jù)AF+EF=AE求出AE的長(zhǎng)，由第一問(wèn)的相似三角形，根據(jù)相似的性質(zhì)得出比例式，將各自的值代入即可求出AC的長(zhǎng)．

解答：解：（1）∵DF過(guò)圓心，且AF=BF，
∴DF⊥AB，

AD

=

DB

，
∴∠ACD=∠EAD，又∠ADC=∠EDA，
∴△DAC∽△DEA；

（2）連接OA，如圖所示：
∵DF⊥AB，
∴∠AFD=∠DFE=90°，
在Rt△AOF中，OA=OD=3，AF=

5

，
根據(jù)勾股定理得：OF=

OA2-AF2

=2，
∴DF=OD+OF=3+2=5，
在Rt△ADF中，AF=

5

，DF=5，
根據(jù)勾股定理得：AD=

AF2+DF2

=

30

，
又EF=FB+BE=FB+AB=3

5

，
在Rt△DEF中，根據(jù)勾股定理得：DE=

EF2+DF2

=

70

，
∴AE=AF+EF=4

5

，
∵△DAC∽△DEA，
∴

AC

AE

=

AD

DE

，即

AC

4 5

=

30

70

，
則AC=

4 105

7

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了垂徑定理，勾股定理，圓周角定理，以及相似三角形的判定與性質(zhì)，垂徑定理的內(nèi)容為：垂直于弦的直徑平分于弦，且平分弦所對(duì)的弧，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵．