Question

如圖，直角梯形ABCD中，點A為坐標原點，B（6，0），BC=5，cosB=．
（1）求梯形ABCD的面積和周長；
（2）若點E在線段AB上運動，過點E任作直線，問是否存在直線l將梯形ABCD的周長和面積同時平分？若存在，請求出對應的直線l解析式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）過C作CF⊥AB于F，
∵BC=5，cosB=，
∴BF=4，CF=3，∴AD=3，
∴AB=6，
∴CD=AF=2，
∴梯形ABCD周長=AB+BC+CD+AD=6+5+2+3=16，
S=（AB+CD）•AD
=×8×3=12．

（2）令AE=x，（0≤x≤6），
分三種情況討論：
①如圖，

若l與線段AD交于點P，則AP=8-x，
S_△AEP=AE•AP=x（8-x），
由S_△AEP=S_梯形ABCD=6得：
x²-8x+12=0，
解得：x=2或6，即AE=2，AP=6時，直線l將梯形ABCD的周長和面積同時平分，直線l不存在；
當AE=6，AP=2時，直線l將梯形ABCD的周長和面積同時平分．
②如圖，

若l與線段DC交于點P，
則DP=5-x，
S_{四邊形AEPD}=（x+5-x）×3=≠6，
此時直線l不存在．
③如圖，

若l與線段BC交于點P，
則BE=6-x，
∵AD+DC+CP+AE=PB+EB，
3+2+5-BP+x=BP+6-x，
∴PB=2+x，
過P作PG⊥AB于G，則，
∴PG=（2+x），
S_△PEB=（6-x）（2+x），
由S_△PEB=6得：x²-4x+8=0，
∵△＜0，此方程沒有實數根，
此時直線l不存在，
綜上所述，當AE=6，AP=2時，直線l將梯形ABCD的周長和面積同時平分．
分析：（1）如圖過C作CF⊥AB于F，這樣把梯形分割成矩形和直角三角形，然后解直角三角形BCF，可以求出BF，CF，最后求出梯形ABCD的面積和周長；
（2）存在直線l將梯形ABCD的周長和面積同時平分，設AE=x，可以根據周長和面積平分得到關于x的方程，解方程可以求出x的值，然后結合圖形的實際情況判斷有三種情況，取舍不存在的情況．
點評：此題比較復雜，尤其是第二問圖形的變換與分類討論，它主要考查了梯形的常用輔助線-作高線，還綜合了方程，一次函數，梯形的知識，對學生的要求比較高．