Question

如圖，在直角梯形OABC中，AB∥OC，BC⊥x軸于點C，A（1，2），C（3，0）．動點P從O點出發(fā)，沿x軸正方向以每秒1個單位長度的速度移動．過P點作PQ⊥直線OA，垂足為Q．設P點移動的時間為t秒（0＜t≤7），△OPQ與直角梯形OABC重疊部分的面積為S．
（1）寫出點B的坐標：______；
（2）當t=7時，求直線PQ的解析式，并判斷點B是否在直線PQ上；
（3）求S關于t的函數(shù)關系式；
（4）連接AC．是否存在t，使得PQ分△ABC的面積為1：3？若存在，直接寫出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵A（1，2），C（3，0），AB∥OC，BC⊥x軸于點C，
∴點B的坐標為：（3，2）；
故答案為：（3，2）．

（2）∵設直線OA的坐標為：y=kx，
∵A（1，2），
∴k=2，
即直線OA的解析式為：y=2x，
∵PQ⊥直線OA，
∴設直線PQ的解析式為：y=-x+b，
∵當t=7時，點P的坐標為（7，0），
∴-×7+b=0，
解得：b=，
∴直線PQ的解析式為：y=-x+；
當x=3時，y=2，
∴點B在直線PQ上；

（3）∵直線OA的解析式為：y=2x，
∴tan∠POQ=2，即sin∠POQ=，cos∠POQ=，
∴tan∠OPQ=，
∵OP=t，
∴OQ=t，PQ=t，
當t=3時，點P與點C重合，
當Q與A重合時，即OQ=OA==，
∴t=，
解得：t=5；
當0＜t≤3，S=S_△PQO=OQ•PQ=×t×t=t²；
當3＜t≤5，如圖2，
∵PC=t-3，
∴CD=PC•tan∠OPQ=PC=，
S=S_△POQ-S_△PCD=t²-（t-3）×=-；
∴當3＜t≤5，；
當5＜t≤7，如圖3，
∵CD=，
∴BD=2-=，
∵AB∥x軸，
∴∠BED=∠OPQ，
∴tan∠BED=，
∴BE=2BD=7-t，
∴S=S_梯形OABC-S_△BED=×（2+3）×2-×（7-t）×=，
∴當5＜t≤7，；

（4）存在．
理由：∵S_△ABC=AB•BC=×2×2=2，
∴若使得PQ分△ABC的面積為1：3，
當3＜t≤5時，S_△DEF=S_△ABC=，
設AC交PQ于點E，過點E作EF∥DF，
∴△CEF∽△CAB，△EDF∽△PDC，
∴EF：AB=CF：CB，EF：CP=DF：CD，
∵AB=BC，CP=2CD，
∴EF=CF，EF=2DF，
∴CF=2DF，
∴DF=CD=，
∴EF=2DF=t-3，
∴×（t-3）×=，
解得：t=3+；
當5＜t≤7時，S_△BDE=S_△ABC=，
即×（7-t）×=，
解得：t=7-；
綜上可得：或．
分析：（1）由在直角梯形OABC中，AB∥OC，BC⊥x軸于點C，A（1，2），C（3，0），即可求得點B的坐標；
（2）由A（1，2），可求得直線OA的解析式，又由PQ⊥直線OA，即可設直線PQ的解析式為：y=-x+b，又由當t=7時，點P的坐標為（7，0），即可求得直線PQ的解析式，繼而可得點B在直線PQ上；
（3）分別從當0＜t≤3，當3＜t≤5與當5＜t≤7時，去分析求解即可求得答案；
（4）由題意可得：當3＜t≤5時，S_△DEF=S_△ABC=，當5＜t≤7時，S_△BDE=S_△ABC=，則可得方程，解方程即可求得答案．
點評：此題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、直角梯形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、垂線間的關系以及三角形的面積問題．此題難度較大，注意掌握方程思想、分類討論思想與數(shù)形結合思想的應用．