Question

如圖所示，已知A、E、F、C在同一直線上，AE=CF，過E、F分別作DE⊥AC于點E，BF⊥AC于點F，若AB=CD．

（1）BD與EF互相平分嗎？請說明理由；
（2）若將△ABF沿CA方向移動變?yōu)閳D②時，其余條件不變，上述結論是否還成立？請說明理由．

Answer 1

解：（1）BD與EF互相平分．理由如下：
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠BFA=∠DEC=90°．
又∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE，
在Rt△BFA與Rt△DEC中，
，
∴Rt△BFA≌Rt△DEC（HL），
∴BF=DE，
∵BF∥DE，
∴四邊形BEDF為平行四邊形，
∴BD與EF互相平分；

（2）上述結論還成立．理由如下：
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠BFA=∠DEC=90°．
又∵AE=CF，
∴AE-EF=CF-EF，即AF=CE，
在Rt△BFA與Rt△DEC中，
，
∴Rt△BFA≌Rt△DEC（HL），
∴BF=DE，
∵BF∥DE，
∴四邊形BEDF為平行四邊形，
∴BD與EF互相平分．
分析：（1）連接BE、FD，首先由題意推出AF=CE，∠BFA=∠DEC=90°，則由全等三角形的判定定理HL證得Rt△BFA≌Rt△DEC，便知BF=DE，推出四邊形BEDF為平行四邊形，即可推出BD與EF互相平分；
（2）同（1）的證明過程．
點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)．全等三角形的判定是結合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關鍵是選擇恰當?shù)呐卸�條件．