Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，射線OA與x軸正半軸重合，以O(shè)為旋轉(zhuǎn)中心，將OA逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)：OA?OA₁?OA₂…?OA_n…，旋轉(zhuǎn)角∠AOA₁=2°，A₁OA₂=4°，∠A₂OA₃=8°，…要求下一個(gè)旋轉(zhuǎn)角（不超過(guò)360°）是前一個(gè)旋轉(zhuǎn)角的2倍．當(dāng)旋轉(zhuǎn)角大于360°時(shí)，又從2°開始旋轉(zhuǎn)，即∠A₈OA₉=2°，∠A₉OA₁₀=4°，…周而復(fù)始．則當(dāng)OA_n與y軸正半軸重合時(shí)，n的最小值為（ ） （提示：2+2²+2³+2⁴+2⁵+2⁶+2⁷+2⁸=510）

A．16
B．24
C．27
D．32

Answer 1

【答案】分析：由題意知：每8組角為一個(gè)循環(huán)；若OA與y軸正半軸重合，那么射線OA旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為：360°•k+90°，即旋轉(zhuǎn)的角度為整數(shù)，且是10的倍數(shù)；在每組的循環(huán)中，前4組或后4組角的度數(shù)和正好是10°的倍數(shù)，因此所求的n值必為4的倍數(shù)，首先可以排除的是C選項(xiàng)，然后再將A、B、D代入旋轉(zhuǎn)角度表達(dá)式中進(jìn)行驗(yàn)證即可，能求出k是正整數(shù)的就是符合題意的n值．
解答：解：若經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)OA_n與y軸正半軸重合，那么射線OA旋轉(zhuǎn)的角度為：360°•k+90°，（k為正整數(shù)）
因此旋轉(zhuǎn)的角度必為10°的倍數(shù)；
由題意知：2+2²+2³+2⁴=30，2⁵+2⁶+2⁷+2⁸=480；
即n的值必為4的倍數(shù)，顯然C選項(xiàng)不符合題意；
A、當(dāng)n=16時(shí)，旋轉(zhuǎn)的角度為：510°×（16÷8）=1020°，
即360°•k+90°=1020°，所求得的k值不是正整數(shù)，故A選項(xiàng)不符合題意；
B、當(dāng)n=24時(shí)，旋轉(zhuǎn)的角度為：510°×（24÷8）=1530°，
即360°•k+90°=1530°，解得k=4，故B選項(xiàng)符合題意；
D、顯然32＞24，已經(jīng)證得B選項(xiàng)符合題意，那么D選項(xiàng)一定不符合題意；
故選B．
點(diǎn)評(píng)：此題主要運(yùn)用了排除法來(lái)解答，正確地表示出射線OA旋轉(zhuǎn)的角度，判斷出n是4的倍數(shù)，是解決此題的關(guān)鍵，難度較大．