Question

如圖，函數(shù)和的圖象相交于A、B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（3）在x軸上是否存在點(diǎn)P，使△BOP為等腰三角形？若存在，把符合條件的點(diǎn)P都求出來；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：（1）∵A為兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)，A點(diǎn)橫坐標(biāo)為2，把A點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入y=x得，y=×2=1，
∴A（2，1），
設(shè)反比例函數(shù)的解析式為y=（k≠0），把A（2，1）代入得，
1=，k=2，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=；

（2）由，
解得，，
所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為：（-2，-1）．
解法二：由對(duì)稱性，A與B關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱；
∵A（2，1），∴B（-2，-1）

（3）作BC⊥x軸，垂足為C，
∵B（-2，-1），∴OC=2，BC=1，
在Rt△OBC中，由勾股定理得，
OB==．
分三種情況討論：
①當(dāng)OB=OP時(shí)，P₁（，0），P₂（-，0）；
②當(dāng)OB=BP₃時(shí)，OP₃=2OC=4，∴P₃（-4，0）．
③作OB的垂直平分線交OB于D．
設(shè)P₄（x，0），則OP₄=BP₄=-x，CP₄=2+x，BC=1．
（2+x）²+1²=（-x）²，
x=-∴p₄（-，0），
綜上所述，符合條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為：
P₁（，0）、P₂（-，0）、P₃（-4，0）、p₄（-，0）．
分析：（1）把A點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入正比例函數(shù)的解析式求出A點(diǎn)的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法即可求出反比例函數(shù)的解析式；
（2）因?yàn)檎�比例函�?shù)與反比例函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)，解關(guān)于兩函數(shù)解析式組成的方程組即可求出B點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）作BC⊥x軸，垂足為C，由勾股定理求出OB的長(zhǎng)，再分OB=OP，OB=BP，BP=OP三種情況討論，分別求出P點(diǎn)坐標(biāo)即可．
點(diǎn)評(píng)：此題綜合性較強(qiáng)，涉及到一次函數(shù)、反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，及等腰三角形的性質(zhì)，在解（3）時(shí)由于不明確等腰三角形的腰，故應(yīng)分三種情況討論，不要漏解．