Question

已知拋物線經(jīng)過點A（－1，0），B（3，0），交軸于點C，M為拋物線的頂點，連接MB．

（1）求該拋物線的解析式；
（2）在軸上是否存在點P滿足△PBM是直角三角形，若存在，請求出P點的坐標，若不存在，請說明理由；
（3）設Q點的坐標為（8，0），將該拋物線繞點Q旋轉(zhuǎn)180°后，點M的對應點為，求的度數(shù)．

Answer 1

（1） （2）P點的坐標為（0，1），（0，3），，
（3）＝135°

試題分析：（1）∵因為拋物線經(jīng)過點A（－1，0），B（3，0）
∴
解得
∴
（2）設點P的坐標為（0，y）,

① 若∠MPB＝90°，過點M作ME ⊥x軸，MF ⊥y軸,
易證R t △PFM ∽ R t △BOP，可得：
解得，∴點P的坐標為（0，1），（0，3）

② 若∠PMB＝90°，同理，R t △PFM ∽ R t △BEM，
∴ 解得： ∴點P的坐標為
③ 若∠MBP＝90°，同理, R t △POB ∽ R t △BEM
∴，解得： ，∴點P的坐標為
綜上：△PBM是直角三角形時，P點的坐標為（0，1），（0，3），，
（3）
由題意可知：B（3，0），M(1，4)，Q(8，0)，點M，M′關(guān)于點Q中心對稱，
∴M′ (15，－4)，
連結(jié)M′B，并延長M′B交y軸于點D，
由，可得D（0，1）
連結(jié)MD，易證R t △DFM≌R t △DOB
∴△DBM是等腰直角三角形，∠DBM＝45°
∴＝135°
解法二：
過點M′作MB的垂線交MB的延長線于點D，
由△MBM′面積計算，轉(zhuǎn)化為已知△面積和底邊MB求高D M′，解得
再由 ，  M’D⊥MD， ∴△DBM′是等腰Rt△，
∴    
∴ ∠M’BD=∠BM’D=45°
∴＝135°
點評：該題較為復雜，是�？碱}，主要考查學生對求二次函數(shù)解析式以及對圖形中點與線段在直角坐標系中表示的方法的應用。