Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=﹣x2+bx+c的圖象交x軸于A（4，0），B（﹣1，0）兩點，交y軸于點C，連結(jié)AC．

(1)填空：該拋物線的函數(shù)解析式為 ，其對稱軸為直線 ；

(2)若P是拋物線在第一象限內(nèi)圖象上的一動點，過點P作x軸的垂線，交AC于點Q，試求線段PQ的最大值；

(3)在（2）的條件下，當線段PQ最大時，在x軸上有一點E（不與點O，A重合），且EQ=EA，在x軸上是否存在點D，使得△ACD與△AEQ相似？如果存在，請直接寫出點D的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）證明見解析.

【解析】

（1）把代入拋物線中列方程組，解出可得b和c的值，可得拋物線的解析式，配方成頂點式可得對稱軸；
（2）先利用待定系數(shù)法求直線AC的解析式，再設(shè)點P的坐標，并表示點Q的坐標，根據(jù)鉛直高度表示PQ的長，并配方可得PQ的最大值；
（3）分兩種情況：①當D在線段OA上時，如圖1，根據(jù)△AEQ∽△ADC，由EQ=EA，得CD=AD，利用勾股定理解決問題；②當D在點B的左側(cè)時，如圖2根據(jù)三角形相似，由EQ=EA可得OA=OD，可得D的坐標．

．解：（1）把代入拋物線中得：

解得：

∴

∴拋物線的函數(shù)解析式為：其對稱軸為直線：

故答案為：

(2)∵A(4,0),C(0,3)，

∴直線AC的解析式為：

設(shè),則

∴

∵P是拋物線在第一象限內(nèi)圖象上的一動點，

∴0<x<4，

∴當x=2時，PQ的最大值為3；

(3)分兩種情況：

①當D在線段OA上時,如圖1,△AEQ∽△ADC，

∵EQ=EA,

∴CD=AD，

設(shè)CD=a，則AD=a，OD=4a，

在Rt△OCD中,由勾股定理得：

∴

∴

∴

②當D在點B的左側(cè)時,如圖2,△AEQ∽△ACD，

∵EQ=EA，

∴CD=AC，

∵OC⊥AD，

∴OD=OA=4，

∴D(4,0)，

綜上所述,當△ACD與△AEQ相似時,點D的坐標為或(4,0).