如圖,⊙O是Rt△ABC的外接圓,AB為直徑,∠ABC=30°,CD是⊙O的切線,ED⊥AB于F,
(1)求證:△CDE是等腰三角形;
(2)若AB=4,,求證:△OBC≌△DCE.

【答案】分析:(1)由于AB是直徑,那么∠ACB=90°,而∠ABC=30°,易求∠BAC=60°,結(jié)合OA=OC,易證△AOC是正三角形,于是∠OCD=60°,結(jié)合CD是切線,易求∠DCE=30°,在Rt△AEF中,易求∠E=30°,于是∠DCE=∠E,可證△CDE實等腰三角形;
(2)在Rt△ABC中,由于∠A=60°,AB=4,易求AC=AO=2,利用勾股定理可求BC=2,CE=AE-AC=2,那么BC=CE,而∠OBC=∠OCB=∠DCE=∠DEC=30°,從而可證△OBC≌△DCE.
解答:證明:(1)∵AB為直徑,
∴∠ACB=90°,
又∠ABC=30°,
∴∠BAC=60°,
又∵OA=OC,
∴△AOC是正三角形,
又∵CD是⊙O的切線,
∴∠OCD=90°,
∴∠DCE=180°-60°-90°=30°,
又∵ED⊥AB于F,
∴∠DEC=90°-∠BAC=30°,
∴∠DCE=∠DEC,
故△CDE為等腰三角形;
              
(2)在Rt△ABC中,
∵AB=4,AC=AO=2,
,
,
∴BC=CE,
又∵∠OBC=∠OCB=∠DCE=∠DEC=30°,
∴△OBC≌△DCE(ASA).
點評:本題考查了切線的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定、勾股定理、全等三角形的判定和性質(zhì).解題的關(guān)鍵是證明△AOC是正三角形.
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3
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