Question

13．圖1是一個小朋友玩“滾鐵環(huán)”的游戲，鐵環(huán)是圓形的，鐵環(huán)向前滾動時，鐵環(huán)鉤保持與鐵環(huán)相切．將這個游戲抽象為數(shù)學(xué)問題，如圖2．已知鐵環(huán)的半徑為25cm，設(shè)鐵環(huán)中心為O，鐵環(huán)鉤與鐵環(huán)相切點(diǎn)為M，鐵環(huán)與地面接觸點(diǎn)為A，∠MOA=α，且sinα=$\frac{3}{5}$．

（1）求點(diǎn)M離地面AC的高度BM；
（2）設(shè)人站立點(diǎn)C與點(diǎn)A的水平距離AC=55cm，求鐵環(huán)鉤MF的長度．

Answer 1

分析 （1）過M作與AC平行的直線，與OA、FC分別相交于H、N．那么求BM的長就轉(zhuǎn)化為求HA的長，而要求出HA，必須先求出OH，在直角三角形OHM中，sinα的值，且鐵環(huán)的半徑為5個單位即OM=5，可求得HM的值，從而求得HA的值；
（2）因為∠MOH+∠OMH=∠OMH+∠FMN=90°，∠FMN=∠MOH，又因為sin∠MOA=$\frac{3}{5}$，所以可得出FN和FM之間的數(shù)量關(guān)系，即FN=$\frac{3}{5}$FM，再根據(jù)MN=11-3=8，利用勾股定理即可求出FM=10個單位．

解答 解：（1）過點(diǎn)M作MD⊥OA交OA于點(diǎn)D，
在RT△ODM中，sinα=$\frac{DM}{OM}=\frac{3}{5}$，
∴DM=15cm∴OD=20 cm，
∴AD=BM=5cm；

（2）延長DM交CF于點(diǎn)E，
易得：∠FME=∠AOM=α，
∵M(jìn)E=AC-DM=55-15=40cm，
∴cosα=$\frac{ME}{MF}=\frac{4}{5}$
∴MF=50cm．

點(diǎn)評 考查了解直角三角形的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，只要把實際問題抽象到解直角三角形中即可解答．