Question

如圖，直線y=﹣x+3與x軸，y軸分別交于B，C兩點(diǎn)，拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)B，C兩點(diǎn)，點(diǎn)A是拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)．

（1）求B、C兩點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）求此拋物線的函數(shù)解析式；

（3）在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使S△PAB=S△CAB，若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）B（3，0）C（0，3）（2）此拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3．（3）存在這樣的P點(diǎn)，其坐標(biāo)為P（0，3），（2，3）（1+，﹣3）或（1﹣，﹣3）．

【解析】

試題分析：（1）已知了過(guò)B、C兩點(diǎn)的直線的解析式，當(dāng)x=0時(shí)可求出C點(diǎn)的坐標(biāo)，當(dāng)y=0是可求出B點(diǎn)的坐標(biāo)．

（2）由于拋物線的解析式中只有兩個(gè)待定系數(shù)，因此將B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線中即可求出拋物線的解析式．

（3）根據(jù)（2）的拋物線的解析式可得出A點(diǎn)的坐標(biāo)，由此可求出AB的長(zhǎng)，由于S△PAB=S△CAB，而AB邊為定值．由此可求出P點(diǎn)的縱坐標(biāo)，然后將P點(diǎn)的縱坐標(biāo)代入拋物線的解析式中即可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．

試題解析：（1）∵直線y=﹣x+3經(jīng)過(guò)B、C

∴當(dāng)x=0時(shí)y=3

當(dāng)y=0時(shí)x=3

∴B（3，0）C（0，3）

（2）∵拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)B、C

∴．

∴b=2，c=3．

∴此拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3．

（3）當(dāng)y=0時(shí)，﹣x2+2x+3=0；x1=﹣1，x2=3．

∴A（﹣1，0）

設(shè)P（x，y）

∵S△PAB=S△CAB

∴×4×|y|=×4×3

∴y=3或y=﹣3

①當(dāng)y=3時(shí)，3=﹣x2+2x+3

∴x1=0，x2=2

P（0，3）或（2，3）

②當(dāng)y=﹣3時(shí)，﹣3=﹣x2+2x+3

∴x1=1+，x2=1﹣

∴P（1+，﹣3）或（1﹣，﹣3）．

因此存在這樣的P點(diǎn)，其坐標(biāo)為P（0，3），（2，3）（1+，﹣3）或（1﹣，﹣3）．

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．