Question

6．如圖，拋物線與x軸的交點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別為-1，-4，與y軸的交點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為3．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖①在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)P，使得四邊形PAOC的周長最��？若存在，求出四邊形PAOC周長的最小值；若不存在請說明理由；
（3）如圖②，點(diǎn)Q是線段OB上一動(dòng)點(diǎn)，連接BC，在線段BC上是否存在這樣的點(diǎn)M，使△CQM為等腰三角形，且△BQM為直角三角形？若存在，求點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；
（2）A、B兩點(diǎn)關(guān)于對稱軸對稱，連接BC交對稱軸于點(diǎn)P，則P點(diǎn)即為所求，在Rt△BOC中可求得BC的長，進(jìn)一步可求得四邊形PAOC周長的最小值；
（3）分∠MQB=90°和∠QMB=90°兩種情況，設(shè)出M點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)△CQM為等腰三角形，結(jié)合三角形相似可得到關(guān)于M點(diǎn)坐標(biāo)的方程，可求得M點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：
（1）設(shè)拋物線解析式為y=ax²+bx+c（a≠0），
由題意可知A（-1，0），B（-4，0），C（0，3），
代入拋物線解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{16a-4b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{3}{4}}\\{b=\frac{15}{4}}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為y=$\frac{3}{4}$x²+$\frac{15}{4}$x+3；
（2）∵A、B關(guān)于對稱軸對稱，如圖1，連接BC，

∴BC與對稱軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P，此時(shí)PA+PC=BC，
∴四邊形PAOC的周長最小值為：OC+OA+BC，
∵A（-1，0），B（-4，0），C（0，3），
∴OA=1，OC=3，BC=$\sqrt{O{B}^{2}+O{C}^{2}}$=5，
∴OC+AB+BC=1+3+5=9，
∴在拋物線的對稱軸上存在點(diǎn)P，使四邊形PAOC的周長最小，四邊形PAOC周長的最小值為9；
（3）設(shè)直線BC解析式為y=kx+n，
把B、C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入可得$\left\{\begin{array}{l}{-4k+n=0}\\{n=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{3}{4}}\\{n=3}\end{array}\right.$，
∴直線BC的解析式為y=$\frac{3}{4}$x+3，
①當(dāng)∠BQM=90°時(shí)，如圖2，設(shè)M（a，b），

∵∠CMQ＞90°，
∴只能CM=MQ=b，
∵M(jìn)Q∥y軸，
∴△MQB∽△COB，
∴$\frac{BM}{BC}$=$\frac{MQ}{OC}$，即$\frac{5-b}{5}$=$\frac{3}$，
解得b=$\frac{15}{8}$，代入y=$\frac{3}{4}$x+3可得$\frac{15}{8}$=$\frac{3}{4}$a+3，
解得a=-$\frac{3}{2}$，
∴M點(diǎn)坐標(biāo)為（-$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{8}$）；
②當(dāng)∠QMB=90°時(shí)，如圖3，

∵∠CMQ=90°，
∴只能CM=MQ，
設(shè)CM=MQ=m，則BM=5-m，
∵∠BMQ=∠COB=90°，∠MBQ=∠OBC，
∴△BMQ∽△BOC，
∴$\frac{5-m}{4}$=$\frac{m}{3}$，解得m=$\frac{15}{7}$，
作MN∥OB，則有$\frac{MN}{OB}$=$\frac{CN}{OC}$=$\frac{CM}{BC}$，
即$\frac{MN}{4}$=$\frac{CN}{3}$=$\frac{\frac{15}{7}}{5}$，
∴MN=$\frac{12}{7}$，CN=$\frac{9}{7}$，
∴ON=OC-CN=3-$\frac{9}{7}$=$\frac{12}{7}$，
∴M點(diǎn)坐標(biāo)為（-$\frac{12}{7}$，$\frac{12}{7}$），
綜上可知在線段BC上是存在這樣的點(diǎn)M，使△CQM為等腰三角形且△BQM為直角三角形，點(diǎn)M的坐標(biāo)為
（-$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{8}$）或（-$\frac{12}{7}$，$\frac{12}{7}$）．

點(diǎn)評 本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及知識(shí)點(diǎn)有待定系數(shù)法、軸對稱的性質(zhì)和應(yīng)用、等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)及分類討論思想．在（2）中確定出P點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵，在（3）中注意分兩種情況來進(jìn)行討論，利用等腰三角形的性質(zhì)得到方程是解題的關(guān)鍵．本題考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度適中．