Question

13．在等腰△ABC中AB=AC，∠BAC=120°，在邊AB的延長(zhǎng)線上有一點(diǎn)P，射線AP從AB開始，繞點(diǎn)A逆時(shí)針勻速旋轉(zhuǎn)，每秒鐘旋轉(zhuǎn)15°，到達(dá)AC后立即以相同旋轉(zhuǎn)速度返回AB，到達(dá)后立即重復(fù)上述旋轉(zhuǎn)過程．當(dāng)AP旋轉(zhuǎn)1秒時(shí)，此時(shí)光線AP交BC于點(diǎn)M，BM的長(zhǎng)為（20$\sqrt{3}$-20）cm，光線AP從AB處旋轉(zhuǎn)開始計(jì)時(shí)，若要轉(zhuǎn)2018秒，射線AP與BC邊的交點(diǎn)與點(diǎn)B之間的距離是（20$\sqrt{3}$-10）cm．

Answer 1

分析 過A點(diǎn)作AD⊥BC，垂足為D，設(shè)AB=2tcm，在Rt△ABD中，AD=$\frac{1}{2}$AB=t，BD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=$\sqrt{3}$t，在Rt△AMD中，∠AMD=∠ABC+∠BAM=45°，即MD=AD=t，由BM=BD-MD列出方程解得t=20，從而求出AB、BD、AD的長(zhǎng)，再設(shè)光線AP旋轉(zhuǎn)2018秒后光線與BC的交點(diǎn)為Q，由題意可知，光線從邊AB開始到第一次回到AB處需8×2=16秒，而2018=126×16+2，即AP旋轉(zhuǎn)2018秒與旋轉(zhuǎn)2秒時(shí)和BC的交點(diǎn)是同一個(gè)點(diǎn)Q，得出∠BAQ=30°，求出DQ、CQ的長(zhǎng)，即可得出結(jié)果．

解答 解：過A點(diǎn)作AD⊥BC，垂足為D，如圖所示：
∵∠BAC=120°，AB=AC，
∴∠ABC=∠C=30°，
設(shè)AB=2tcm，
在Rt△ABD中，AD=$\frac{1}{2}$AB=t，BD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=$\sqrt{3}$t，
在Rt△AMD中，∵∠AMD=∠ABC+∠BAM=45°，
∴MD=AD=t，
∵BM=BD-MD．即$\sqrt{3}$t-t=20$\sqrt{3}$-20．
解得t=20，
∴AB=2×20=40cm，BD=$\frac{1}{2}$BC=20$\sqrt{3}$cm，AD=20cm，
設(shè)光線AP旋轉(zhuǎn)2018秒后光線與BC的交點(diǎn)為Q，
由題意可知，120÷15=8，光線從邊AB開始到第一次回到AB處需8×2=16秒，
而2018=126×16+2，即AP旋轉(zhuǎn)2018秒與旋轉(zhuǎn)2秒時(shí)和BC的交點(diǎn)是同一個(gè)點(diǎn)Q，
∴∠BAQ=30°，則∠QAD=30°，
∴在Rt△ADQ中，DQ=$\frac{1}{2}$AD=10cm，
∴CQ=CD+DQ=BD+DQ=20$\sqrt{3}$+10（cm），
BQ=BC-CQ=2BD-CQ=2×20$\sqrt{3}$-20$\sqrt{3}$-10=20$\sqrt{3}$-10（cm），
∴光線AP旋轉(zhuǎn)2018秒后，與BC的交點(diǎn)與點(diǎn)B之間的距離為20$\sqrt{3}$-10（cm）；
故答案為：（20$\sqrt{3}$-10）cm．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、含30°角直角三角形的性質(zhì)、三角函數(shù)等知識(shí)；熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)與直角三角形的性質(zhì)時(shí)解決問題的關(guān)鍵．