Question

10．已知關(guān)于x的方程x²-mx-3x+m-4=0（m為常數(shù)）．
（1）求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）設(shè)x₁，x₂是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求（x₁-1）（x₂-1）的值．

Answer 1

分析 （1）將原方程變形為一般式，代入系數(shù)求出△=（m+1）²+24＞0，由此即可證出結(jié)論；
（2）由根與系數(shù)的關(guān)系得出“x₁+x₂=m+3，x₁•x₂=m-4”，再將（x₁-1）（x₂-1）變形成含x₁+x₂和x₁•x₂的形式，代入數(shù)據(jù)即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：∵關(guān)于x的方程x²-mx-3x+m-4=0，
∴此方程為x²-（m+3）x+m-4=0，
∴△=[-（m+3）]²-4（m-4）=m²+2m+25=（m+1）²+24，
∴△＞0，
∴關(guān)于x的方程x²-mx-3x+m-4=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
（2）解：∵x₁，x₂是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴x₁+x₂=-$\frac{a}$=m+3，x₁•x₂=$\frac{c}{a}$=m-4，
∴（x₁-1）（x₂-1）=x₁•x₂-（x₁+x₂）+1=（m-4）-（m+3）+1=-6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了根的判別式以及根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是：（1）找出△=（m+1）²+24＞0；（2）結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系找出x₁+x₂=m+3，x₁•x₂=m-4．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，由根的判別式的符號(hào)來(lái)判斷方程根的個(gè)數(shù)是關(guān)鍵．