Question

如圖，在⊙O中，AB是直徑，AD是弦，∠ADE=60°，∠C=30°．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）作AQ⊥EC于點(diǎn)Q，若AQ=10，試求點(diǎn)D到AC的距離．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OD，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得∠ADE=∠DAC+∠C，易求∠DAC=30°，而OD=OA，可得∠DAC=∠ODA=30°，從而可求∠ODE=90°，易證CD是⊙O的切線；
（2）作DH⊥AC于H，根據(jù)（1）可知∠DAC=30°，而易求∠QAD=30°，易知AD是∠QAC的角平分線，而D再角平分線上，故DH=DQ，在Rt△AQD中，利用30°的角所對(duì)的邊等于斜邊的一半，結(jié)合勾股定理易求DQ，從而可求DH．
解答：解：（1）連接OD，
∵∠ADE=∠DAC+∠C，
又∠ADE=60°，∠C=30°，
∴∠DAC=30°，
∵OD=OA，
∴∠DAC=∠ODA=30°，
又∠ADE=60°，
∴∠ODE=∠ODA+∠ADE=30°+60°=90°，
即OD⊥DC，
∴CD是⊙O的切線；

（2）作DH⊥AC于H，
∵AQ⊥EC，
∴∠AQD=90°，
∴∠QAD=30°，
由（1）得：∠DAC=30°，
∴∠QAD=∠DAC，即DA平分∠QAC，
又∵AQ⊥EC，
∴DH=DQ，
在Rt△AQD中，設(shè)DQ=x，則AD=2x，于是10²+x²=4x²，
解得x=，
即點(diǎn)D到AC的距離為．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定、角平分線的性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用三角形外角性質(zhì)求出∠DAC=30°．