Question

14．如圖，點(diǎn)C在半圓0上，直徑AB=8，$\widehat{BC}$=2$\widehat{AC}$，過點(diǎn)C作切線CD，BD⊥CD，則陰影部分的面積是（　�。�

• A． 8$\sqrt{3}$-4π
• B． 8$\sqrt{3}$-$\frac{8}{3}$π
• C． 4π-6$\sqrt{3}$
• D． 6$\sqrt{3}$-$\frac{8}{3}$π

Answer 1

分析 連接OC，OE，作OF⊥BE于F，根據(jù)題意求得∠AOC=60°，∠BOC=120°，根據(jù)切線性質(zhì)進(jìn)一步得出OC∥BD，得出∠B=∠AOC=60°，從而求得△EOB是等邊三角形，解直角三角形求得EF和OF，然后根據(jù)S_陰影=S_矩形-S_扇形OCE-S_△EOF即可求得．

解答 解：連接OC，OE，作OF⊥BE于F，
∵DC是半圓0的切線，
∴OC⊥CD，
∵BD⊥CD，
∴OC∥BD，
∵$\widehat{BC}$=2$\widehat{AC}$，
∴∠AOC=60°，∠BOC=120°，
∴∠B=∠AOC=60°，
∵OB=OE，
∴△EOB是等邊三角形，
∴∠EOB=60°，
∴∠COE=60°，
∵OC⊥CD，BD⊥CD，OF⊥BD，
∴四邊形OCDF是矩形，
∴DF=OC=4，
在RT△BOF中，∠B=60°，
∴BF=$\frac{1}{2}$OB=2，OF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$OB=2$\sqrt{3}$，
∴EF=BF=2，
∴S_陰影=S_矩形-S_扇形OCE-S_△EOF
=4×2$\sqrt{3}$-$\frac{60π×{4}^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{3}$
=6$\sqrt{3}$-$\frac{8}{3}$π．
故選D．

點(diǎn)評 本題考查了切線的性質(zhì)，平行線的判定，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形以及扇形的面積等，作出輔助線構(gòu)建矩形和等邊三角形是解題的關(guān)鍵．