Question

如圖，在直角梯形ABCD中，∠D=∠BCD=90°，∠B=60°，AB = 6，AD = 9，點(diǎn)E是CD上的一個動點(diǎn)（E不與D重合），過點(diǎn)E作EF∥AC，交AD于點(diǎn)F（當(dāng)E運(yùn)動到C時，EF與AC重合），把△DEF沿著EF對折，點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)G,如圖①．

⑴ 求CD的長及∠1的度數(shù)；

⑵ 設(shè)DE = x，△GEF與梯形ABCD重疊部分的面積為y．求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求x為何值時，y的值最大?最大值是多少?

⑶ 當(dāng)點(diǎn)G剛好落在線段BC上時,如圖②,若此時將所得到的△EFG沿直線CB向左平移，速度為每秒1個單位，當(dāng)E點(diǎn)移動到線段AB上時運(yùn)動停止.設(shè)平移時間為t（秒）,在平移過程中是否存在某一時刻t，使得△ABE為等腰三角形?若存在，請直接寫出對應(yīng)的t的值；若不存在，請說明理由.

 

Answer 1

（1）CD= ，∠1 =30°；（2）當(dāng)x=時，y的值最大，y的最大值為；（3）存在， t=9或t=9﹣2或t=12﹣．

【解析】

試題分析：（1）過點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H，構(gòu)建Rt△AHB和矩形AHCD；通過解直角三角形、矩形的性質(zhì)求得CD=AH=．則，故∠CAD=30°；然后由平行線的性質(zhì)推知∠1=∠CAD=30°；

（2）根據(jù)△EFG≌△EFD列出y的表達(dá)式，從而討論x的范圍，分別得出可能的值即可；

（3）需要分類討論：以AB為底和以AB為腰的情況．

試題解析：（1）過點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H．

∵在Rt△AHB中，AB=6，∠B=60°，

∴AH=AB•sinB=

∵四邊形ABCD為直角梯形

∴四邊形AHCD為矩形

∴CD=AH=．

∵

∴∠CAD=30°

∵EF∥AC

∴∠1=∠CAD=30°；

（2）點(diǎn)G恰好在BC上，由對折的對稱性可知△FGE≌△FDE，

∴GE=DE=x，∠FEG=∠FED=60°

∴∠GEC=60°

∵△CEG是直角三角形

∴∠EGC=30°

∴在Rt△CEG中，EC=EG=x

由DE+EC=CD 得

∴x=；

當(dāng)時，

y=S△EGF=S△EDF=·DE·DF=x·x=x2，

∵＞0，對稱軸為y軸

∴當(dāng)，y隨x的增大而增大

∴當(dāng)x=時，y最大值=；

當(dāng)＜x≤時，設(shè)FG，EG分別交BC于點(diǎn)M、N

∵DE=x，

∴EC=﹣x，NE=2(﹣x)，

∴NG=GE﹣NE=3x﹣．

又∵∠MNG=∠ENC=30°，∠G=90°，

∴MG=NG•tan30°=，

，

y=S△EGF﹣S△MNG==．

∵，對稱軸為直線，

∴當(dāng)＜x≤時，y有最大值，

∴當(dāng)x=時，．

綜合兩種情形：由于＜

∴當(dāng)x=時，y的值最大，y的最大值為；

（3）由題意可知：AB=6，分三種情況：

①若AE=BE，解得t=9

②若AB=AE，解得t=9﹣2

③若BA=BE，解得t=12﹣．

考點(diǎn)：1.二次函數(shù)綜合題2.全等三角形的判定與性質(zhì)．