Question

已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，O為△ABC中∠B和∠C的外角平分線的交點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OB為半徑的⊙O與△ABC的三邊所在的直線交于D、E、F、G．
（1）證明：BE=BG=DF；
（2）若AE=16，CG=2，求△ABC的周長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：垂徑定理,角平分線的性質(zhì),勾股定理

專題：

分析：（1）作OM⊥DF，ON⊥BG，OK⊥BE，根據(jù)角平分線的性質(zhì)判斷出OM=ON=OK，從而得到BE=BG=DF．
（2）連接OC，OA．易得，△OMC≌△ONC，△OMA≌△OKA，可知，CD=CG=2，AM=AK，得到AB=AD，
根據(jù)勾股定理求出AB的長(zhǎng)即可解答．

解答：解：（1）作OM⊥DF，ON⊥BG，OK⊥BE，
∵O為△ABC中∠B的外角平分線的交點(diǎn)，
∴OK=ON，
O為△ABC中∠C的外角平分線的交點(diǎn)，
∴OK=ON，
∴（2）連接OC，OA．
易得，△OMC≌△ONC，△OMA≌△OKA，
可知，CD=CG=2，AM=AK，
∵DM=BK，
∴AB=AD，
設(shè)AB=x，則CB=16-2-x=14-x，AC=2+x，
在Rt△ABG中，（x+2）²=x²+（14-x）²，
解得x₁=24（舍去），x₂=8．
可得△ABC的周長(zhǎng)為16+8=24．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了垂徑定理、弦與弦心距的關(guān)系、勾股定理、角平分線的性質(zhì)等，要綜合運(yùn)用，且要注意整體思想的運(yùn)用．