Question

在四邊形ABCD中，∠B=∠D=α．
（1）如圖1，當(dāng)α=90°，AE、CF分別評分∠DAB和∠BCD，交CD、AB于點E、F，求證：AE∥CF．
（2）如圖2，當(dāng)α≠90°，若（1）中“CF平分∠BCD”改成“CF平分四邊形ABCD的一個外角∠DCG”，猜想并驗證AE與CF的位置關(guān)系．

Answer 1

考點：平行線的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)內(nèi)角和定理求出∠DAB+∠DCB=180°，求出∠DAE+∠DCF=90°，推出∠DEA=∠DCF，根據(jù)平行線的判定推出即可；
（2）延長AE交CF于N，角BG于M，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠CEM=∠CME，推出CE=CM，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出即可．

解答：（1）證明：∵∠B=∠D=90°，
∴∠DAB+∠DCB=360°-90°-90°=180°，
∵AE、CF分別評分∠DAB和∠BCD，
∴∠DAE=

1

2

∠DAB，∠DCF=

1

2

∠DCB，
∴∠DAE+∠DCF=90°，
∵∠D=90°，
∴∠DAE+∠DEA=90°，
∴∠DEA=∠DCF，
∴AE∥CF；

（2）解：AE⊥CF，
理由是：如圖，延長AE交CF于N，角BG于M，
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE=∠BAE，
∵∠D=∠B，∠DAE+∠D+∠DEA=180°，∠BAE+∠B+∠BMA=180°，
∴∠DEA=∠BMA，
∵∠CEM=∠DEA，
∴∠BME=∠CEM，
∴CE=CM，
∵CF平分∠ECM，
∴CF⊥EM，
即AE⊥CF．

點評：本題考查了平行線的性質(zhì)和判定，多邊形的內(nèi)角和定理，角平分線定義，等腰三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力，題目比較好，綜合性比較強．