Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=10．一把三角尺的直角頂點(diǎn)P在AD上滑動時（點(diǎn)P與A、D不重合），一直角邊始終經(jīng)過點(diǎn)C，另一直角邊與AB交于點(diǎn)E．
（1）證明△DPC∽△AEP；
（2）當(dāng)∠CPD=30°時，求AE的長；
（3）是否存在這樣的點(diǎn)P，使△DPC的周長等于△AEP周長的2倍？若存在，求出DP的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）證明：在△DPC、△AEP中，∠1與∠2互余，∠2與∠3互余，
∴∠1=∠3，
又∠A=∠D=90°，，
∴△DPC∽△AEP．

（2）∵∠2=30°，CD=4，
∴PC=8，PD=，
又∵AD=10，
∴AP=AD-PD=10-4，
由（1），得=10-12；

（3）存在這樣的點(diǎn)P，使△DPC的周長等于△AEP周長的2倍，
∵相似三角形周長的比等于相似比，設(shè)=2，
解得DP=8．
分析：（1）根據(jù)等角的余角相等，得∠1=∠3，根據(jù)兩個角對應(yīng)相等即可證明相似；
（2）根據(jù)30°直角三角形的性質(zhì)，得PC=8，再根據(jù)勾股定理求得DP的長，總而利用相似三角形的對應(yīng)邊的比相等即可求解；
（3）根據(jù)相似三角形周長的比等于相似比進(jìn)行分析．
點(diǎn)評：此題綜合考查了相似三角形的判定和性質(zhì)．