Question

請仔細(xì)閱讀材料，并解答相應(yīng)問題：
定義A=a+b

m

，B=a-b

m

（a、b、m均為正有理數(shù)）都是無理數(shù)，若滿足①A+B=2a為有理數(shù)；②AB=a²-mb²為有理數(shù)，則稱A、B兩數(shù)為姐妹數(shù)（如3+2

2

，3-2

2

，∵3+2

2

+3-2

2

=6，（3+2

2

）（3-2

2

）=3²-（2

2

）²=9-8=1，∴6，1為有理數(shù)，則3+2

2

、3-2

2

為姐妹數(shù)）
（1）已知x₁，x₂是x²-4x=2的兩個根，求x₁，x₂的值，并通過以上方法判斷x₁，x₂是否是一對姐妹數(shù)．
（2）在（1）條件下請繼續(xù)判斷x₁²、x₂²是否是一對姐妹數(shù)．

Answer 1

考點：分母有理化

專題：閱讀型

分析：（1）求出方程的解得到x₁，x₂的值，求出x₁+x₂與x₁x₂的值，利用題中的新定義判斷即可；
（2）分別求出x₁²+x₂²與x₁²x₂²的值，利用題中的新定義判斷即可．

解答：解：（1）方程x²-4x=2，
配方得：x²-4x+4=6，即（x-2）²=6，
∴x-2=±

6

，
解得：x₁=2+

6

，x₂=2-

6

，
∴x₁+x₂=2+

6

+2-

6

=4，x₁x₂=（2+

6

）（2-

6

）=4-6=-2，
而4，-2都為有理數(shù)，∴x₁，x₂為姐妹數(shù)；
（2）∵x₁+x₂=4，x₁x₂=-2，
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=16+4=20，x₁²+x₂²=（x₁x₂）²=4，而20與4都為有理數(shù)，
則x₁²、x₂²是一對姐妹數(shù)．

點評：此題考查了分母有理化，二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特點的式子．即一項符號和絕對值相同，另一項符號相反絕對值相同．