Question

已知：如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AC上，點(diǎn)F在BC上，且AE=CF．
（1）求證：DE=DF，DE⊥DF；
（2）若AC=2，求四邊形DECF面積．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形

專題：

分析：（1）首先可判斷△ABC是等腰直角三角形，連接CD，再證明BD=CD，∠DCF=∠A，根據(jù)全等三角形的判定易得到△ADE≌△CDF，繼而可得出結(jié)論．
（2）根據(jù)全等可得S_△AED=S_△CFD，進(jìn)而得到S_{四邊形CEDF}=S_△ADC，然后再利用三角形的中線平分三角形的面積可得答案．

解答：證明：（1）如圖，連接CD．
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，∠A=∠B=45°，
∵D為BC中點(diǎn)，
∴BD=CD，CD平分∠BCA，CD⊥AB．
∴∠DCF=45°，
在△ADE和△CFD中，

AE=CF ∠A=∠FCD AD=CD

，
∴△ADE≌△CFD（SAS），
∴DE=DF，∠ADE=∠CDF．
∵∠ADE+∠EDC=90°，
∴∠CDF+∠EDC=∠EDF=90°，即DE⊥DF．

（2）∵△ADE≌△CFD，
∴S_△AED=S_△CFD，
∴S_{四邊形CEDF}=S_△ADC，
∵D是AB的中點(diǎn)，
∴S_△ACD=

1

2

S_△ACB=

1

2

×2×2=2．
∴S_{四邊形CEDF}=1．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定方法．