【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,C是⊙O上一點,OD⊥BC于點D,過點C作⊙O的切線,交OD的延長線于點E,連接BE.
(1)求證:BE與⊙O相切;
(2)設(shè)OE交⊙O于點F,若DF=1,BC=2 ,求陰影部分的面積.

【答案】
(1)證明:連接OC,如圖,

∵CE為切線,

∴OC⊥CE,

∴∠OCE=90°,

∵OD⊥BC,

∴CD=BD,

即OD垂中平分BC,

∴EC=EB,

在△OCE和△OBE中

,

∴△OCE≌△OBE,

∴∠OBE=∠OCE=90°,

∴OB⊥BE,

∴BE與⊙O相切


(2)解:設(shè)⊙O的半徑為r,則OD=r﹣1,

在Rt△OBD中,BD=CD= BC= ,

∴(r﹣1)2+( 2=r2,解得r=2,

∵tan∠BOD= = ,

∴∠BOD=60°,

∴∠BOC=2∠BOD=120°,

在Rt△OBE中,BE= OB=2 ,

∴陰影部分的面積=S四邊形OBEC﹣S扇形BOC

=2SOBE﹣S扇形BOC

=2× ×2×2

=4 π


【解析】(1)連接OC,如圖,利用切線的性質(zhì)得∠OCE=90°,再根據(jù)垂徑定理得到CD=BD,則OD垂中平分BC,所以EC=EB,接著證明△OCE≌△OBE得到∠OBE=∠OCE=90°,然后根據(jù)切線的判定定理得到結(jié)論;(2)設(shè)⊙O的半徑為r,則OD=r﹣1,利用勾股定理得到(r﹣1)2+( 2=r2 , 解得r=2,再利用三角函數(shù)得到∠BOD=60°,則∠BOC=2∠BOD=120°,接著計算出BE= OB=2 , 然后根據(jù)三角形面積公式和扇形的面積公式,利用陰影部分的面積=2SOBE﹣S扇形BOC進行計算即可.

練習冊系列答案
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(2)如果P,Q分別從A,B同時出發(fā),那么幾秒后,△PBQ中PQ的長度等于5cm?
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