【題目】如圖,已知BC是⊙O的直徑,點D為BC延長線上的一點,點A為圓上一點,且AB=AD,AC=CD.
(1)求證:△ACD∽△BAD;
(2)求證:AD是⊙O的切線.
【答案】
(1)證明:∵AB=AD,
∴∠B=∠D,
∵AC=CD,
∴∠CAD=∠D,
∴∠CAD=∠B,
∵∠D=∠D,
∴△ACD∽△BAD
(2)證明:連接OA,
∵OA=OB,
∴∠B=∠OAB,
∴∠OAB=∠CAD,
∵BC是⊙O的直徑,
∴∠BAC=90°,
∴OA⊥AD,
∴AD是⊙O的切線.
【解析】(1)根據等腰三角形的性質得到∠CAD=∠B,由于∠D=∠D,于是得到△ACD∽△BAD;(2)連接OA,根據的一句熟悉的性質得到∠B=∠OAB,得到∠OAB=∠CAD,由BC是⊙O的直徑,得到∠BAC=90°即可得到結論.
【考點精析】認真審題,首先需要了解切線的判定定理(切線的判定方法:經過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線),還要掌握相似三角形的判定與性質(相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等)的比等于相似比;相似三角形周長的比等于相似比;相似三角形面積的比等于相似比的平方)的相關知識才是答題的關鍵.
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【題目】如圖,∠A=∠B,AE=BE,點D在AC邊上,∠1=∠2,AE和BD相交于點O.
(1)求證:△AEC≌△BED;
(2)若∠1=42°,求∠BDE的度數.
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【題目】如圖,矩形ABCD中,E是AD的中點,延長CE,BA交于點F,連接AC,DF.
(1)求證:四邊形ACDF是平行四邊形;
(2)當CF平分∠BCD時,寫出BC與CD的數量關系,并說明理由.
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【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,C是⊙O上一點,OD⊥BC于點D,過點C作⊙O的切線,交OD的延長線于點E,連接BE.
(1)求證:BE與⊙O相切;
(2)設OE交⊙O于點F,若DF=1,BC=2 ,求陰影部分的面積.
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【題目】如圖,在矩形ABCD中,AB=8,BC=4,將矩形沿AC折疊,點D落在點D′處,則重疊部分△AFC的面積為( )
A.6B.8C.10D.12
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【題目】如圖,在每個小正方形邊長為1的方格紙中,△ABC的頂點都在方格紙格點上
(1)畫出△ABC向右平移4格, 再向上平移1格后的△A1B1C1;
(2)圖中BC與B1C1的關系是 ;
(3)圖中△ABC的面積是
(4)請在AB上找一點D,使得線段CD平分△ABC的面積,在圖上作出線段CD.
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【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,PB與⊙O相切于點B,連接PA交⊙O于點C,連接BC.
(1)求證:∠BAC=∠CBP;
(2)求證:PB2=PCPA;
(3)當AC=6,CP=3時,求sin∠PAB的值.
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC≠BC,點M是邊AC上的動點.過點M作MN∥AB交BC于N,現將△MNC沿MN折疊,得到△MNP.若點P在AB上.則以MN為直徑的圓與直線AB的位置關系是 .
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