Question

12．已知點(diǎn)A、B在半徑為1的⊙O上，直線AC與⊙O相切，OC⊥OB，連接AB交OC于點(diǎn)D．
（1）如圖①，求證：AC=CD；
（2）如圖②，OC與⊙O交于點(diǎn)E，若BE∥OA，求OD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）如圖①，先利用切線的性質(zhì)得∠OAB+∠CAB=90°，再利用OC⊥OB得到∠B+∠ODB=90°，然后根據(jù)對(duì)頂角相等和等腰三角形的性質(zhì)得到∠ODB=∠ADC，∠OAB=∠B，則可判斷∠ADC=∠CAB，于是利用等腰三角形的判定定理即可得到結(jié)論；
（2）如圖②，先判斷△OBE為等腰直角三角形得到∠OEB=45°，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠AOC=∠OEB=45°，則可判斷△OAC為等腰直角三角形，所以AC=OA=1，OC=$\sqrt{2}$OA=$\sqrt{2}$，然后利用（1）中的結(jié)論得到CD=CA=1，于是計(jì)算OC-CD即可．

解答 （1）證明：如圖①，
∵直線AC與⊙O相切，
∴OA⊥AC，
∴∠OAC=90°，即∠OAB+∠CAB=90°，
∵OC⊥OB，
∴∠BOC=90°，
∴∠B+∠ODB=90°，
而∠ODB=∠ADC，
∴∠ADC+∠B=90°，
∴OA=OB，
∴∠OAB=∠B，
∴∠ADC=∠CAB，
∴AC=CD；
（2）解：如圖②，
∴∠BOC=90°，OB=OE，
∴△OBE為等腰直角三角形，
∴∠OEB=45°，
∵BE∥OA，
∴∠AOC=∠OEB=45°，
∴△OAC為等腰直角三角形，
∴AC=OA=1，OC=$\sqrt{2}$OA=$\sqrt{2}$，
而CD=CA=1，
∴OD=OC-CD=$\sqrt{2}$-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．也考查了等腰三角形的性質(zhì)和等腰直角三角形的判定與性質(zhì)．