Question

15．已知直線y=$\frac{1}{2}$x+2與y軸交于點A，與雙曲線y=$\frac{k}{x}$有一個交點為B（2，3），將直線AB向下平移，與x軸、y軸分別交于點C，D，與雙曲線的一個交點為P，若$\frac{CD}{DP}$=$\frac{1}{2}$，則點D的坐標(biāo)為（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）或（0，-$\frac{\sqrt{6}}{2}$）．

Answer 1

分析 設(shè)D的坐標(biāo)為（0，m），分D點在y軸的正半軸、D點在y軸的負(fù)半軸兩種情況，根據(jù)平行線分線段成比例定理得出$\frac{OD}{PM}=\frac{CD}{CP}$，然后根據(jù)$\frac{CD}{DP}$=$\frac{1}{2}$，求得PM的值，從而求得P的坐標(biāo)，代入直線解析式即可求得m的值．

解答 解：∵B（2，3）在雙曲線y=$\frac{k}{x}$上，
∴k=2×3=6，
故雙曲線解析式為：y=$\frac{6}{x}$，
當(dāng)D點在y軸的正半軸時，如圖1所示，

設(shè)D的坐標(biāo)為（0，m），
∵將直線AB向下平移，與x軸、y軸分別交于點C，D，
∴CD∥AB，
∴直線CD的解析式為y=$\frac{1}{2}$x+m，
作PM⊥x軸于M，
∴PM∥y軸，
∴$\frac{OD}{PM}=\frac{CD}{CP}$，
∵$\frac{CD}{DP}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{OD}{PM}$=$\frac{CD}{CP}$=$\frac{1}{3}$，
∴PM=3OD=3m，
∵P是雙曲線的一個交點，
∴P（$\frac{2}{m}$，3m）
∴3m=$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{m}$+m，
解得m=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴m＞0，
∴D（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）；
當(dāng)D點在y軸的負(fù)半軸時，如圖2所示，

作PM⊥x軸于M，
∴PM∥y軸，
∴$\frac{OD}{PM}$=$\frac{CD}{CP}$，
∵$\frac{CD}{DP}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{OD}{PM}$=$\frac{CD}{CP}$=1，
∴PM=OD=-m，
∵P是雙曲線的一個交點，
∴P（-$\frac{6}{m}$，-m），
∴-m=$\frac{1}{2}$×（-$\frac{6}{m}$）+m，
解得m=±$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∵m＜0，
∴D（0，-$\frac{\sqrt{6}}{2}$）；
綜上，點D的坐標(biāo)為（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）或（0，-$\frac{\sqrt{6}}{2}$），
故答案為：（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）或（0，-$\frac{\sqrt{6}}{2}$）．

點評 本題考查了反比例函數(shù)和一次函數(shù)的交點問題，根據(jù)平移的性質(zhì)以及平行線分線段成比例定理，表示出P點的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．