Question

16．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BD是∠ABC的平分線，點(diǎn)O在AB上，⊙O經(jīng)過(guò)B，D兩點(diǎn)，交BC于點(diǎn)E．
（1）求證：AC是⊙O的切線；
（2）若BC=6，tan∠A=$\frac{3}{4}$，求CD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）連接DO，由等腰三角形的性質(zhì)和角平分線的定義得出∠ODB=∠CBD，證出DO∥BC，由平行線的性質(zhì)得出∠ADO=90°，即可得出結(jié)論；
（2）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到AC=8，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到R=$\frac{15}{4}$，在Rt△ABC中，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：如圖，連接OD，
∵⊙O經(jīng)過(guò)B，D兩點(diǎn)，
∴OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，
又∵BD是∠ABC的平分線，
∴∠OBD=∠CBD，
∴∠ODB=∠CBD，
∴OD∥BC，
∵∠ACB=90°，即BC⊥AC，
∴OD⊥AC．又OD是⊙O的半徑，
∴AC是⊙O的切線；

（2）解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∵BC=6，tan∠BAC=$\frac{BC}{AC}=\frac{3}{4}$，
∴AC=8，
∵OD∥BC，
∴△AOD∽△ABC，
∴$\frac{OD}{BC}=\frac{OA}{AB}$，即$\frac{R}{6}=\frac{10-R}{10}$，
解得：R=$\frac{15}{4}$，
∴OD=$\frac{15}{4}$，
在Rt△ABC中，OD⊥AC，
∴tan∠A=$\frac{OD}{AD}=\frac{3}{4}$，
∴AD=5，
∴CD=3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的判定、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、垂徑定理等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，特別是（2）中，需要證明相似三角形求出半徑才能得出結(jié)果．