Question

在邊長為6的菱形ABCD中，動點M從點A出發(fā)，沿著折線A→B→C的路線向終點C運動，連接DM交AC于點N，連接BN．
（1）如圖1，當(dāng)點M在AB邊上運動時．
①求證：△ABN≌△AND；
②若∠ABC=60°，∠ADM=20°，求證：MB=MN．
（2）如圖2，若∠ABC=90°，記點M運動所經(jīng)過的路程為x，求使得△AND為等腰三角形時x的值．

Answer 1

分析：（1）①三角形ABN和ADN中，不難得出AB=AD，∠DAC=∠CAB，AN是公共邊，根據(jù)SAS即可判定兩三角形全等；
②連接DB，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到AC垂直平分BD，所以NB=ND，然后利用三角形的外角的性質(zhì)得到∠BNM=∠MBN=20°，從而得到結(jié)論MN=MB．
（2）本題要分三種情況即：ND=NA，DN=DA，AN=AD進(jìn)行討論．

解答：（1）證明：①∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=AD，∠1=∠2．
又∵AN=AN，
∴△ABN≌△ADN．
②解：連接DB，
∴AC垂直平分BD，
∴NB=ND，
∵∠ABC=60°，
∴∠ABD=∠ADB=30°，
∵∠ADM=20°，
∴∠BDN=∠DBN=10°，
∴∠BNM=∠MBN=20°，
∴MN=MB．

（2）解：∵∠ABC=90°，
∴菱形ABCD是正方形．
∴∠CAD=45°．
下面分三種情形：
（Ⅰ）若ND=NA，則∠ADN=∠NAD=45°．
此時，點M恰好與點B重合，得x=6；
（Ⅱ）若DN=DA，則∠DNA=∠DAN=45°．
此時，點M恰好與點C重合，得x=12；
（Ⅲ）若AN=AD=6，則∠1=∠2．
∵AD∥BC，
∴∠1=∠4，又∠2=∠3，
∴∠3=∠4．
∴CM=CN．
∴AC=6

2

．
∴CM=CN=AC-AN=6

2

-6．
故x=12-CM=12-（6

2

-6）=18-6

2

．
綜上所述：當(dāng)x=6或12或18-6

2

時，△AND是等腰三角形．

點評：本題考查了菱形的各邊長相等的性質(zhì)，考查了正方形的判定，考查了全等三角形的判定和全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，考查了等腰三角形的判定，本題中求證△ABN≌△ADN是解題的關(guān)鍵．