【題目】如圖,在平面直角坐標系中,點A的坐標為(1,1),OA=AC,∠OAC=90°,點D為x軸上一動點,以AD為邊在AD的右側(cè)作正方形ADEF.
(1)當點D在線段OC上時(不與點O、C重合),則線段CF與OD之間的關(guān)系為 ;
(2)當點D在線段OC的延長線上時,(1)中的結(jié)論是否成立?請說明理由;
(3)設D點坐標為(t,0),當D點從O點運動到C點時,用含t的代數(shù)式表示E點坐標,求出E點所滿足的函數(shù)關(guān)系式,并寫出E點所經(jīng)過的路徑長.
【答案】(1)相等; 垂直;(2)成立,理由見解析;(3)E點坐標為(t+1,t-1),;E點所經(jīng)過的路徑長為
【解析】
(1)連接CF,通過同角的余角相等可得∠OAD=∠CAF,由正方形性質(zhì)可得AD=AF,再由已知OA=OC易證得兩三角形全等,而OD=CF;由△ODA≌△CFA,所以∠FCA=∠DOA,即∠FCO=∠FCA+∠ACO=∠DOA+∠ACO,得到∠FCO=90°;
(2)按題目要求構(gòu)造正方形ADEF,連接CF,利用(1)的方法證明,結(jié)論易得;
(3)分為t<1,t=1,t>1三種情況討論.分別討論利用全等三角形的判定和性質(zhì)易得結(jié)論.根據(jù)點E的坐標可以分析出點運動的軌跡,即可求解.
(1)連接CF,如圖:
∵∠OAC=90°,∠DAF=90°,
∴∠OAC=∠DAF,
∴∠OAD=∠OAC-∠CAD=∠DAF-∠CAD=∠CAF,
在△OAD和△CAF中,
,
∴△OAD≌△CAF,
∴OD=CF,∠AOD=∠ACF,
∴∠OCF=∠OCA+∠ACF=∠OCA+∠AOC,
在Rt△OAC中,
∵∠OCA+∠AOC=90°,
∴∠OCF=90°,
∴OD⊥CF,
故答案:相等; 垂直;
(2)結(jié)論依然成立,即OD=CF,OD⊥CF,理由如下:
如圖,連接CF.
∵∠OAC=90°,∠DAF=90°,
∴∠OAC=∠DAF,
∴∠OAD=∠OAC+∠CAD=∠DAF+∠CAD=∠CAF,
在△OAD和△CAF中,
,
∴△OAD≌△CAF,
∴OD=CF,∠AOD=∠ACF,
∴∠OCF=∠OCA+∠ACF=∠OCA+∠AOC,
在Rt△OAC中,
∵∠OCA+∠AOC=90°,
∴∠OCF=90°,
∴OD⊥CF;
(3)過點A作AG⊥x軸于G,過點E作EH⊥x軸于H,
∵OA=CA,且∠OAC=90°,
∴OG=CG=AG,
∵A的坐標為(1,1),
∴OG=AG=1,OC=2,
當D在線段OG上,如圖,此時t<1,則DG=1-t,
∵∠DAG+∠ADG=90°,∠ADG+∠HDE=90°,
∴∠DAG=∠HDE,
在△ADG和△DEH中,
,
∴△ADG≌△DEH,
∵OD= t,
∴HE=DG=1-t,DH=AG=1,
∴OH=OD+DH=t+1,
∴E點坐標為(t+1,-(1-t)),即(t+1,t-1);
當D與G點重合,E點與C點重合,即E點坐標為(2,0),
此時t=1,所以E點坐標也為(t+1,t-1);
當D在線段GC上,如圖,此時t>1,則DG=t-1,
∵∠ADE=90°,
∴∠ADG+∠EDH=90°,
∵∠DAG+∠ADG=90°,
∴∠DAG=∠EDH,
在△ADG和△DEH中,
,
∴△ADG≌△DEH,
∵OD= t,
∴HE=DG=t-1,DH=AG=1,
∴OH=OD+DH=t+1,
∴E點坐標為(t+1,t-1),
綜上所述,E點坐標為(t+1,t-1),;
當t=0時,點E的坐標為(1,-1),
當t=2時,點E的坐標為(3,1),
猜想點E在線段上運動,
設直線的解析式為,
把(1,-1),(3,1)代入得:,
解得:,
∴,
∵點E(t+1,t-1)在上,且,
∴點E在線段上運動,猜想正確,
∴E點由(1,-1)直線運動到(3,1),
∴線段,
∴E點所經(jīng)過的路徑長為.
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【題目】如圖,在矩形ABCD中,AB=1,BC=.將矩形ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)至矩形AB′C′D′,使得點B′恰好落在對角線BD上,連接DD′,則DD′的長度為( 。
A. B. C. +1 D. 2
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【題目】如圖,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,將邊AC沿CE翻折,使點A落在AB上的點D處;再將邊BC沿CF翻折,使點B落在CD的延長線上的點B′處,兩條折痕與斜邊AB分別交于點E、F,則線段B′F的長為( 。
A. B. C. D.
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【題目】直線y=kx+b與反比例函數(shù)y=(x>0)的圖象分別交于點 A(m,3)和點B(6,n),與坐標軸分別交于點C和點D.
(1)求直線AB的解析式;
(2)若點P是x軸上一動點,當△COD與△ADP相似時,求點P的坐標.
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【題目】下列說法:
若一元二次方程有一個根是,則代數(shù)式的值是
若,則是一元二次方程的一個根
若,則一元二次方程有不相等的兩個實數(shù)根
當m取整數(shù)或1時,關(guān)于x的一元二次方程與的解都是整數(shù).
其中正確的有
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
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【題目】彩虹服裝店用元購進件襯衣,很快全部售完.服裝店老板以每件元的價格為標準,將超出的記為正數(shù),不足的記為負數(shù),記錄如下:,,,,,,,(單位:元).他賣完這件襯衣后是盈利還是虧損?盈利(或虧損)了多少錢?
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【題目】如圖,一次函數(shù)y=ax+b(a≠0)的圖象與反比例函數(shù)(k≠0)的圖象相交于A,B兩點,與x軸,y軸分別交于C,D兩點,tan∠DCO=,過點A作AE⊥x軸于點E,若點C是OE的中點,且點A的橫坐標為﹣4.,
(1)求該反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式;
(2)連接ED,求△ADE的面積.
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【題目】我校對本校的八年級學生對待學習的態(tài)度進行了一次抽樣調(diào)查,結(jié)果分成“非常感興趣”、“比較感興趣”、“一般般”、“不感興趣”四種類型,分別記為、、、.根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了如下尚不完整的統(tǒng)計圖.
根據(jù)所給數(shù)據(jù),解答下列問題:
(1)本次問卷共隨機調(diào)查了_________名學生,扇形統(tǒng)計圖中_________,扇形所對應的圓心角為_________°;
(2)請根據(jù)數(shù)據(jù)信息補全條形統(tǒng)計圖;
(3)若該校有2000名學生,估計選擇“非常感興趣”、“比較感興趣”共約有多少人?
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【題目】我們把符號“”讀作“的階乘”,規(guī)定“其中為自然數(shù),當時,,當時,”.例如:.又規(guī)定“在含有階乘和加、減、乘、除運算時,應先計算階乘,再乘除,后加堿,有括號就先算括號里面的”.按照以上的定義和運算順序,計算:
(1)_______;
(2)_______;
(3)______;
(4)用具體數(shù)試驗一下,看看等式是否成立?
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