Question

如圖，已知等邊三角形△AEC，以AC為對(duì)角線做正方形ABCD（點(diǎn)B在△AEC內(nèi)，點(diǎn)D在△AEC外）．連接EB，過E作EF⊥AB，交AB的延長(zhǎng)線為F．
（1）猜測(cè)直線BE和直線AC的位置關(guān)系，并證明你的猜想．
（2）證明：△BEF∽△ABC，并求出相似比．

Answer 1

分析：（1）由等邊三角形△AEC與正方形ABCD，利用SSS，易證：△AEB≌△CEB，再根據(jù)等腰三角形的三線合一性質(zhì)，即可證得：BE⊥AC；
（2）根據(jù)題意易得∠EBF的度數(shù)為45°，則易證△BEF∽△ABC，又由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，則可求得相似比．

解答：解：（1）猜測(cè)BE和直線AC垂直．
證明：∵△AEC是等邊三角形，
∴AE=CE，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=CB，
∵BE=BE，
∴△AEB≌△CEB（SSS）．
∴∠AEB=∠CEB，
∵AE=CE，
∴BE⊥AC；

（2）∵△AEC是等邊三角形，
∴∠EAC=∠AEC=60°，
∵BE⊥AC，
∴∠BEA=

1

2

∠AEC=30°，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BAC=45°，
∴∠BAE=15°，
∴∠EBF=45°，
∵EF⊥BF，
∴∠F=90°，
∴∠EBF=∠BAC，∠F=∠ABC，
∴△BEF∽△ACB，
延長(zhǎng)EB交AC于G，設(shè)AC為2a，則BG=a，EB=

3

a-a，
∴相似比是：

BE

AC

=

3 a-a

2a

=

( 3 -1)a

2a

=

3 -1

2

點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí)．題目圖形較復(fù)雜，解題時(shí)要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．