Question

如圖，已知等邊三角形ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為邊AB，AC，BC的中點(diǎn)，M為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，△DMN為等邊三角形（點(diǎn)M的位置改變時(shí)，△DMN也隨之整體移動(dòng)）．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)B左側(cè)時(shí)，請(qǐng)你判斷EN與MF有怎樣的數(shù)量關(guān)系？點(diǎn)F是否在直線NE上？都請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)論，不必證明或說(shuō)明理由；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)M在BC上時(shí)，其它條件不變，（1）的結(jié)論中EN與MF的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立，請(qǐng)利用圖2證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）若點(diǎn)M在點(diǎn)C右側(cè)時(shí)，請(qǐng)你在圖3中畫(huà)出相應(yīng)的圖形，并判斷（1）的結(jié)論中EN與MF的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立，請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)論，不必證明或說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）可通過(guò)全等三角形來(lái)證明EN與MF相等，如果連接DE，DF，那么DE就是三角形ABC的中位線，可得出三角形ADE，BDF，DFE，F(xiàn)EC都是等邊三角形，那么∠DEF=∠DFM=60°，DE=DF，而∠MDN和∠FDE都是60°加上一個(gè)∠NDF，因此三角形MDF和EDN就全等了（ASA）．由此可得出EN=MF，∠DNE=∠DMB，已知了BD=DF，DM=DN，因此三角形DBM≌三角形DFN，因此∠DFN=∠DBM=120°，因此∠DFN是三角形DFE的外角因此N，F(xiàn)，E在同一直線上．
（2）（3）證法同（1）都要證明三角形MDF和EDN全等，證明過(guò)程中都要作出三角形的三條中位線，然后根據(jù)三條中位線分成的小等邊三角形的邊和角相等來(lái)得出兩三角形全等的條件，因此結(jié)論仍然成立．

解答：解：（1）判斷：EN與MF相等（或EN=MF），點(diǎn)F在直線NE上，

（2）成立．
連接DF，NF，證明△DBM和△DFN全等（AAS），
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC=BC．
又∵D，E，F(xiàn)是三邊的中點(diǎn)，
∴EF=DF=BF．
∵∠BDM+∠MDF=60°，∠FDN+∠MDF=60°，
∴∠BDM=∠FDN，
在△DBM和△DFN中，

∠BDM=∠FDN ∠ABM=∠DFN DM=DN

，
∴△DBM≌△DFN，
∴BM=FN，∠DFN=∠FDB=60°，
∴NF∥BD，
∵E，F(xiàn)分別為邊AC，BC的中點(diǎn)，
∴EF是△ABC的中位線，
∴EF∥BD，
∴F在直線NE上，
∵BF=EF，
∴MF=EN．

（3）如圖③，MF與EN相等的結(jié)論仍然成立（或MF=NE成立）．
連接DF、DE，
由（2）知DE=DF，∠NDE=∠FDM，DN=DM，
在△DNE和△DMF中，

DE=DF ∠NDE=∠FDM DN=DM

∴△DNE≌△DMF，
∴MF=NE．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)/三角形中位線定理以及全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)以及三角形中位線定理得出全等三角形的條件是解題的關(guān)鍵．