Question

如圖，已知等邊三角形ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為邊AB，AC，BC的中點(diǎn)，M為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，△DMN為等邊三角形（點(diǎn)M的位置改變時(shí)，△DMN也隨之整體移動(dòng)）．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)B左側(cè)時(shí)，請(qǐng)你判斷EN與MF有怎樣的數(shù)量關(guān)系？點(diǎn)F是否在直線NE上？都請(qǐng)直接寫出結(jié)論，不必證明或說明理由；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)M在BC上時(shí)，其它條件不變，（1）的結(jié)論中EN與MF的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立，請(qǐng)利用圖2證明；若不成立，請(qǐng)說明理由；
（3）若點(diǎn)M在點(diǎn)C右側(cè)時(shí)，請(qǐng)你在圖3中畫出相應(yīng)的圖形，并判斷（1）的結(jié)論中EN與MF的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立，請(qǐng)直接寫出結(jié)論，不必證明或說明理由．

Answer 1

分析：（1）可通過全等三角形來證明EN與MF相等，如果連接DE，DF，那么DE就是三角形ABC的中位線，可得出三角形ADE，BDF，DFE，F(xiàn)EC都是等邊三角形，那么∠DEF=∠DFM=60°，DE=DF，而∠MDN和∠FDE都是60°加上一個(gè)∠NDF，因此三角形MDF和EDN就全等了（ASA）．由此可得出EN=MF，∠DNE=∠DMB，已知了BD=DF，DM=DN，因此三角形DBM≌三角形DFN，因此∠DFN=∠DBM=120°，因此∠DFN是三角形DFE的外角因此N，F(xiàn)，E在同一直線上．
（2）（3）證法同（1）都要證明三角形MDF和EDN全等，證明過程中都要作出三角形的三條中位線，然后根據(jù)三條中位線分成的小等邊三角形的邊和角相等來得出兩三角形全等的條件，因此結(jié)論仍然成立．

解答：解：（1）判斷：EN與MF相等（或EN=MF），點(diǎn)F在直線NE上，

（2）成立．
連接DF，NF，證明△DBM和△DFN全等（AAS），
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC=BC．
又∵D，E，F(xiàn)是三邊的中點(diǎn)，
∴EF=DF=BF．
∵∠BDM+∠MDF=60°，∠FDN+∠MDF=60°，
∴∠BDM=∠FDN，
在△DBM和△DFN中，

∠BDM=∠FDN ∠ABM=∠DFN DM=DN

，
∴△DBM≌△DFN，
∴BM=FN，∠DFN=∠FDB=60°，
∴NF∥BD，
∵E，F(xiàn)分別為邊AC，BC的中點(diǎn)，
∴EF是△ABC的中位線，
∴EF∥BD，
∴F在直線NE上，
∵BF=EF，
∴MF=EN．

（3）如圖③，MF與EN相等的結(jié)論仍然成立（或MF=NE成立）．
連接DF、DE，
由（2）知DE=DF，∠NDE=∠FDM，DN=DM，
在△DNE和△DMF中，

DE=DF ∠NDE=∠FDM DN=DM

∴△DNE≌△DMF，
∴MF=NE．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)/三角形中位線定理以及全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)以及三角形中位線定理得出全等三角形的條件是解題的關(guān)鍵．