我們給出如下定義:若一個四邊形ABCD中AC⊥BD,BD平分AC,則稱這個四邊形為箏形四邊形.
(1)小明說:“箏形四邊形一定是菱形”.你認(rèn)為小明的說法是否正確?若正確請說明理由;若不正確,請舉個反例說明.
(3)在箏形ABCD中,AD=CD,AB=BC,若∠ADC=∠ABC,tan∠DAC=1.求證:箏形ABCD是正方形.
(1)解:小明的說法不對:如圖:
∵由已知BD平分AC和AC⊥BD不能推出OB=OD,
∴四邊形ABCD不一定是平行四邊形,
即箏形四邊形不一定是菱形,
∴小明的說法不對.
(2)證明:∵AB=BC,AD=DC,
∴∠BAC=∠BCA,∠DAC=∠DCA,
∵∠ABC=∠ADC,∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°,∠ADC+∠DAC+∠DCA=180°,
∴∠BAC=∠BCA=∠DAC=∠DCA,
∴∠BAC+∠DAC=∠BCA+∠DCA,
即∠BAD=∠BCD,
∵∠ABC=∠ADC,
∴四邊形ABCD是平行四邊形,
∵AB=BC,
∴平行四邊形ABCD是菱形,
∵AC⊥BD,
∴∠AOD=90°,
∵tan∠DAC=1,
∴∠DAC=45°,
∴∠BAD=45°+45°=90°,
∴菱形ABCD是正方形.
分析:(1)根據(jù)已知不能推出符合平行四邊形的判定定理的條件,即得不出四邊形ABCD是平行四邊形,即不能得出四邊形ABCD是菱形;
(2)先根據(jù)等腰三角形性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理推出∠BAC=∠BCA=∠DAC=∠DCA,求出∠BAD=∠BCD,得出四邊形ABCD是平行四邊形,根據(jù)AB=BC,推出平行四邊形ABCD是菱形,由tan∠DAC=1,求出∠DAC=45°,求出∠BAD=90°,根據(jù)正方形的判定推出即可.
點評:本題考查了正方形、平行四邊形、菱形、矩形的判定,三角形的內(nèi)角和定理,等腰三角形的性質(zhì)等知識點,主要考查學(xué)生綜合運用定理進行推理的能力,題目綜合性比較強,有一定的難度.