Question

我們給出如下定義：若一個四邊形ABCD中AC⊥BD，BD平分AC，則稱這個四邊形為箏形四邊形．
（1）小明說：“箏形四邊形一定是菱形”．你認(rèn)為小明的說法是否正確？若正確請說明理由；若不正確，請舉個反例說明．
（3）在箏形ABCD中，AD=CD，AB=BC，若∠ADC=∠ABC，tan∠DAC=1．求證：箏形ABCD是正方形．

Answer 1

（1）解：小明的說法不對：如圖：

∵由已知BD平分AC和AC⊥BD不能推出OB=OD，
∴四邊形ABCD不一定是平行四邊形，
即箏形四邊形不一定是菱形，
∴小明的說法不對．

（2）證明：∵AB=BC，AD=DC，

∴∠BAC=∠BCA，∠DAC=∠DCA，
∵∠ABC=∠ADC，∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°，∠ADC+∠DAC+∠DCA=180°，
∴∠BAC=∠BCA=∠DAC=∠DCA，
∴∠BAC+∠DAC=∠BCA+∠DCA，
即∠BAD=∠BCD，
∵∠ABC=∠ADC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∵AB=BC，
∴平行四邊形ABCD是菱形，
∵AC⊥BD，
∴∠AOD=90°，
∵tan∠DAC=1，
∴∠DAC=45°，
∴∠BAD=45°+45°=90°，
∴菱形ABCD是正方形．
分析：（1）根據(jù)已知不能推出符合平行四邊形的判定定理的條件，即得不出四邊形ABCD是平行四邊形，即不能得出四邊形ABCD是菱形；
（2）先根據(jù)等腰三角形性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理推出∠BAC=∠BCA=∠DAC=∠DCA，求出∠BAD=∠BCD，得出四邊形ABCD是平行四邊形，根據(jù)AB=BC，推出平行四邊形ABCD是菱形，由tan∠DAC=1，求出∠DAC=45°，求出∠BAD=90°，根據(jù)正方形的判定推出即可．
點評：本題考查了正方形、平行四邊形、菱形、矩形的判定，三角形的內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)等知識點，主要考查學(xué)生綜合運用定理進行推理的能力，題目綜合性比較強，有一定的難度．