Question

【題目】如圖，二次函數(shù) 的圖像與 軸交于點(diǎn) 、 ，與 軸交于點(diǎn) .

（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）設(shè)上述拋物線的對稱軸 與 軸交于點(diǎn) ，過點(diǎn) 作 ⊥ 于 ， 為線段
上一點(diǎn)， 為 軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，以 、 、 為頂點(diǎn)的三角形與 相似；
滿足條件的 點(diǎn)有且只有一個(gè)時(shí)，求 的取值范圍；
②若滿足條件的 點(diǎn)有且只有兩個(gè)，直接寫出 的值.

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-3），將C（0，3）代入得：3=-3a，解得a=-1，∴拋物線的解析式為y=-x2+2x+3

（2）解：∵x=- =1，∴CE=1．將x=0代入拋物線的解析式得：y=3，∴點(diǎn)C（0，3）．∴ED=3．設(shè)EP=x，則（0＜x＜3）．當(dāng)△CEP∽△QDP時(shí)，則 ,即 ，

整理得：m=2- ，∴m隨x的增大而增大，∴m＜1．∵Q在x軸的負(fù)半軸上，∴m＜0．當(dāng)△CEP∽△PDQ時(shí)， ,即 ，整理得：m=x2-3x+1，∴當(dāng)x= 時(shí)，m有最小值，m的最小值=- ．又∵Q在x軸的負(fù)半軸上，∴m＜0．∴- ≤m＜0．①∵當(dāng)m＜- 時(shí)，有且只有△CEP∽△QDP一種情況，∴當(dāng)m＜- 時(shí)，滿足條件的點(diǎn)P有且只有一個(gè)．②當(dāng)- ≤m＜0時(shí)，存在△CEP∽△QDP或△CEP∽△PDQ兩種情況，∴當(dāng)- ≤m＜0時(shí)，滿足條件的P點(diǎn)有且只有兩個(gè)

【解析】（1）把A、B、C的坐標(biāo)代入頂點(diǎn)式，得到拋物線的解析式；（2）由拋物線的對稱軸直線，得到CE的值，當(dāng)△CEP∽△QDP時(shí)，得到比例，得到m隨x的增大而增大，求出m的取值范圍；根據(jù)二次函數(shù)的解析式得到m的最小值.