Question

（2013•蘇州一模）如圖（1），已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，點D是BC的中點．作正方形DEFG，使點A、C分別在DG和DE上，連接AE、BG．
（1）試猜想線段BG和AE的關系（位置關系及數(shù)量關系），請直接寫出你得到的結論：
（2）將正方形DEFG繞點D逆時針方向旋轉(zhuǎn)一角度a后（0°＜a＜90°），如圖（2），通過觀察或測量等方法判斷（1）中的結論是否仍然成立？如果成立，請予以證明；如果不成立，請說明理由：
（3）若BC=DE=m，正方形DEFG繞點D逆時針方向旋轉(zhuǎn)角度a（0°＜a＜360°）過程中，當AE為最大值時，求AF的值．

Answer 1

分析：（1）首先利用等腰直角三角形的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)得出DG=DE，AD=BD，進而得出△BDG≌△ADE，即可得出答案；
（2）延長EA分別交DG、BG于點N、M兩點，首先證明△BDG≌△ADE，進而得出BG⊥AE且BG=AE；
（3）由（2）知，要使AE最大，只要將正方形繞點D逆時針旋旋轉(zhuǎn)270°，即A，D，E在一條直線上時，AE最大，進而求出即可．

解答：解：（1）如圖（1），
∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，點D是BC的中點，
∴BD=CD=AD，
∵在△BDG和△ADE中

BD=AD ∠BDG=∠ADE DG=DE

，
∴△BDG≌△ADE（SAS），
∴BG=AE，∠DGB=∠DEA，
延長EA到BG于一點M，
∴∠GAM=∠DAE，
∴∠GMA=∠EDA=90°，
∴線段BG和AE相等且垂直；

（2）成立，
如圖（2），延長EA分別交DG、BG于點N、M兩點，
∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，點D是BC的中點，
∴∠ADB=90°，且BD=AD，
∵∠BDG=∠ADB-∠ADG=90°-∠ADG=∠ADE，
∵在△BDG和△ADE中

BD=AD ∠BDG=∠ADE DG=DE

，
∴△BDG≌△ADE（SAS），
∴BG=AE，∠DEA=∠DGB，
∵∠DEA+∠DNE=90°，∠DNE=∠MNG，
∴∠MNG+∠DGM=90°，
即BG⊥AE且BG=AE；

（3）由（2）知，要使AE最大，只要將正方形繞點D逆時針旋旋轉(zhuǎn)270°，即A，D，E在一條直線上時，AE最大；
∵正方形DEFG在繞點D旋轉(zhuǎn)的過程中，E點運動的圖形是以點D為圓心，DE為半徑的圓，
∴當正方形DEFG旋轉(zhuǎn)到G點位于BC的延長線上（即正方形DEFG繞點D逆時針方向旋轉(zhuǎn)270°）時，BG最大，如圖（3），
若BC=DE=m，則AD=

m

2

，EF=m，
在Rt△AEF中，AF²=AE²+EF²=（AD+DE）²+EF²=

13

4

m²，
∴AF=

13

2

m，即在正方形DEFG旋轉(zhuǎn)過程中，當AE為最大值時，AF=

13

2

m．

點評：此題主要考查了正方形的性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，結合圖形得出全等圖形是解題關鍵．