Question

已知△ABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，BC在x軸上，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A在第一象限內(nèi)，AB與y軸的正半軸相交于點(diǎn)E，點(diǎn)B(－1，0)，P是AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(P與點(diǎn)A、C不重合)

(1)(2分)求點(diǎn)A、E的坐標(biāo)；

(2)(2分)若y＝過(guò)點(diǎn)A、E，求拋物線的解析式．

(3)(5分)連結(jié)PB、PD，設(shè)L為△PBD的周長(zhǎng)，當(dāng)L取最小值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及L的最小值，并判斷此時(shí)點(diǎn)P是否在(2)中所求的拋物線上，請(qǐng)充分說(shuō)明你的判斷理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)連結(jié)AD，不難求得A(1，2) 　　OE＝，得E(0，) 　　(2)因?yàn)閽佄锞�y＝過(guò)點(diǎn)A、E 　　由待定系數(shù)法得：c＝，b＝ 　　拋物線的解析式為y＝ 　　(3)大家記得這樣一個(gè)常識(shí)嗎？ 　　“牽牛從點(diǎn)A出發(fā)，到河邊l喝水，再到點(diǎn)B處吃草，走哪條路徑最短？”即確定l上的點(diǎn)P 　　方法是作點(diǎn)A關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)A'，連結(jié)A'B與l的交點(diǎn)P即為所求． 　　本題中的AC就是“河”，B、D分別為“出發(fā)點(diǎn)”和“草地”． 　　由引例并證明后，得先作點(diǎn)D關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)， 　　連結(jié)B交AC于點(diǎn)P，則PB與PD的和取最小值， 　　即△PBD的周長(zhǎng)L取最小值． 　　不難求得∠DC＝30o 　　DF＝，D＝2 　　求得點(diǎn)D'的坐標(biāo)為(4，) 　　直線B的解析式為：x＋ 　　直線AC的解析式為： 　　求直線B與AC的交點(diǎn)可得點(diǎn)P的坐標(biāo)(，)． 　　此時(shí)BD'＝＝＝2 　　所以△PBD的最小周長(zhǎng)L為2＋2 　　把點(diǎn)P的坐標(biāo)代入y＝成立，所以此時(shí)點(diǎn)P在拋物線上．