【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,邊長(zhǎng)為2的正方形OABC的兩頂點(diǎn)A、C分別在y軸、x軸的正半軸上,點(diǎn)O在原點(diǎn).現(xiàn)將正方形OABC繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn),當(dāng)A點(diǎn)第一次落在直線y=x上時(shí)停止旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)過程中,AB邊交直線y=x于點(diǎn)M,BC邊交x軸于點(diǎn)N(如圖).

(1)求邊OA在旋轉(zhuǎn)過程中所掃過的面積;

(2)旋轉(zhuǎn)過程中,當(dāng)MN和AC平行時(shí),求正方形OABC旋轉(zhuǎn)的度數(shù);

(3)設(shè)△MBN的周長(zhǎng)為p,在旋轉(zhuǎn)正方形OABC的過程中,p值是否有變化?請(qǐng)證明你的結(jié)論.

【答案】(1)(2)22.5°.(3)在旋轉(zhuǎn)正方形OABC的過程中,p值無(wú)變化.

【解析】

試題分析:(1)根據(jù)扇形的面積公式來(lái)求得邊OA在旋轉(zhuǎn)過程中所掃過的面積;

(2)解決本題需利用全等,根據(jù)正方形一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)求出AOM的度數(shù);

(3)利用全等把MBN的各邊整理到成與正方形的邊長(zhǎng)有關(guān)的式子.

試題解析:(1)∵A點(diǎn)第一次落在直線y=x上時(shí)停止旋轉(zhuǎn),直線y=x與y軸的夾角是45°,

∴OA旋轉(zhuǎn)了45°.

∴OA在旋轉(zhuǎn)過程中所掃過的面積為

(2)∵M(jìn)N∥AC,

∴∠BMN=∠BAC=45°,∠BNM=∠BCA=45°.

∴∠BMN=∠BNM.∴BM=BN.

又∵BA=BC,∴AM=CN.

又∵OA=OC,∠OAM=∠OCN,∴△OAM≌△OCN.

∴∠AOM=∠CON=(∠AOC-∠MON)=(90°-45°)=22.5°.

∴旋轉(zhuǎn)過程中,當(dāng)MN和AC平行時(shí),正方形OABC旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為45°-22.5°=22.5°.

(3)在旋轉(zhuǎn)正方形OABC的過程中,p值無(wú)變化.

證明:延長(zhǎng)BA交y軸于E點(diǎn),

則∠AOE=45°-∠AOM,∠CON=90°-45°-∠AOM=45°-∠AOM,

∴∠AOE=∠CON.

又∵OA=OC,∠OAE=180°-90°=90°=∠OCN.

∴△OAE≌△OCN.

∴OE=ON,AE=CN.

又∵∠MOE=∠MON=45°,OM=OM,

∴△OME≌△OMN.∴MN=ME=AM+AE.

∴MN=AM+CN,

∴p=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=4.

∴在旋轉(zhuǎn)正方形OABC的過程中,p值無(wú)變化.

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解:(1AD=BE(已知)

AD+DB=DB+BE      

AB=DE

BCEF(已知)

∴∠ABC=            

又∵BC=EF(已知)

∴△ABC≌△DEF      

∴∠C=FA=FDE      

ACDF      

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