Question

8．定義{a，b，c}為函數(shù)y=ax²+bx+c的“特征數(shù)”．
（1）“特征數(shù)”為{-1，2，3}的函數(shù)解析式為y=-x²+2x+3，將“特征數(shù)”為{0，1，1}的函數(shù)向下平移兩個(gè)單位以后得到的函數(shù)解析式為y=x-1；
（2）我們把橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱為“整點(diǎn)”，試問(wèn)：在上述兩空填寫的函數(shù)圖象圍成的封閉圖形（包含邊界）內(nèi)共有多少個(gè)整點(diǎn)？請(qǐng)給出詳細(xì)的運(yùn)算過(guò)程；
（3）定義“特征數(shù)”的運(yùn)算：①{a₁，b₁，c₁}+{a₂，b₂，c₂}={a₁+a₂，b₁+b₂，c₁+c₂}；②λ•{a₁，b₁，c₁}={λa₁，λb₁，λc₁}（其中λ為任意常數(shù)）．試問(wèn)：“特征數(shù)”為{-1，2，3}+λ•{0，1，-1}的函數(shù)是否過(guò)定點(diǎn)？如果過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)計(jì)算出該定點(diǎn)坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明你的理由．

Answer 1

分析 （1）①根據(jù)定義可知：a=-1，b=2，c=3，則函數(shù)解析式為y=-x²+2x+3；②同理可得：a=0，b=1，c=1，則函數(shù)解析式為y=x+1，向下平移兩個(gè)單位后新的函數(shù)解析式為：y=x-1；（2）聯(lián)立函數(shù)解析式，求出兩函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，估算交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍，再逐一驗(yàn)證求解；（3）如果過(guò)頂點(diǎn)，即與λ的取值無(wú)關(guān)，則將所得的函數(shù)解析式整理之后，含有λ的項(xiàng)的系數(shù)必為0，則可判定函數(shù)是否過(guò)定點(diǎn)．

解答 解：（1）①根據(jù)定義，“特征數(shù)”為{-1，2，3}，則可知a=-1，b=2，c=3，
           則函數(shù)解析式為：y=-x²+2x+3，
         ②“特征數(shù)”為{0，1，1}，則可知a=0，b=1，c=1，
∴y=x+1，
∴向下平移兩個(gè)單位后得到的函數(shù)解析式為：y=x-1，
          故答案為：y=-x²+2x+3，y=x-1；
（2）聯(lián)立直線與二次函數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}y=-{x^2}+2x+3\\ y=x-1\end{array}\right.⇒{x^2}-x-4=0$
解得：$⇒{x_A}=\frac{{1-\sqrt{17}}}{2}，{x_B}=\frac{{1+\sqrt{17}}}{2}$，
估算-2＜x_A＜-1，2＜x_B＜3，
橫坐標(biāo)為-1的整點(diǎn)有：
（-1，0），（-1，-1），（-1，-2）三個(gè)；
橫坐標(biāo)為0的整點(diǎn)有：
（0，3），（0，2）（0，1），（0，0），（0，-1）五個(gè)；
橫坐標(biāo)為1的整點(diǎn)有：
（1，4），（1，3），（1，2），（1，1），（1，0）五個(gè)；
橫坐標(biāo)為2的整點(diǎn)有：
（2，3）（2，2）（2，1）三個(gè)；
合計(jì)，共16個(gè)整點(diǎn)；
（3）依據(jù)定義，{-1，2，3}+λ•{0，1，-1}={-1，2+λ，3-λ}，
∴該函數(shù)解析式為：y=-x²+（2+λ）x+3-λ=（-x²+2x+3）+λ（x-1），
令x-1=0，即x=1，解得：y=4，
∴該函數(shù)始終過(guò)定點(diǎn)（1，4）．

點(diǎn)評(píng) 此題考查學(xué)生對(duì)新定義問(wèn)題的理解和運(yùn)用，兩函數(shù)交點(diǎn)坐標(biāo)的求法，估算法，函數(shù)的平移與過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題．