Question

【題目】如圖，在矩形紙片ABCD中，將AB沿BM翻折，使點A落在BC上的點N處，BM為折痕，連接MN；再將CD沿CE翻折，使點D恰好落在MN上的點F處，CE為折痕，連接EF并延長交BM于點P，若AD＝8，AB＝5，則線段PE的長等于_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

根據折疊可得ABNM是正方形，CD＝CF＝5，∠D＝∠CFE＝90，ED＝EF，可求出三角形FNC的三邊為3，4，5，在Rt△MEF中，由勾股定理可以求出三邊的長，通過作輔助線，可證△FNC∽△PGF，三邊占比為3：4：5，設未知數，通過PG＝HN，列方程求出待定系數，進而求出PF的長，然后求PE的長．

過點P作PG⊥FN，PH⊥BN，垂足為G、H，

由折疊得：ABNM是正方形，AB＝BN＝NM＝MA＝5，

CD＝CF＝5，∠D＝∠CFE＝90，ED＝EF，

∴NC＝MD＝8﹣5＝3，

在Rt△FNC中，FN＝＝4，

∴MF＝5﹣4＝1，

在Rt△MEF中，設EF＝x，則ME＝3﹣x，由勾股定理得，

12+（3﹣x）2＝x2，

解得：x＝，

∵∠CFN+∠PFG＝90，∠PFG+∠FPG＝90，

∴∠CFN=∠PFG

∴△FNC∽△PGF，

∴FG：PG：PF＝NC：FN：FC＝3：4：5，

設FG＝3m，則PG＝4m，PF＝5m，

∴GN＝PH＝BH＝4﹣3m，HN＝5﹣（4﹣3m）＝1+3m＝PG＝4m，

解得：m＝1，

∴PF＝5m＝5，

∴PE＝PF+FE＝5+＝，

故答案為：．