【題目】如圖①,ABC是正三角形,BDC是頂角∠BDC120°的等腰三角形,以D為頂點作一個60°角,角的兩邊分別交AB、AC邊于M、N兩點,連接MN

探究:在下面兩種條件下,線段BM、MN、NC之間的關系,并加以證明.

AN=NC(如圖②); 、DM//AC(如圖③).

思考:若點MN分別是射線AB、CA上的點,其它條件不變,再探線段BMMN、NC之間的關系,在圖④中畫出圖形,并說明理由.

【答案】(1)MN=NC+BM,證明見解析

2MN=NC-BM,證明見解析

【解析】

本題是一個典型的“半角旋轉(zhuǎn)”模型。①和②情況其實是一樣的,延長ACE,使得CE=BM并連接DE,構造全等三角形,找到MD=DE,∠BDM=CDE,BM=CE,再進一步證明DMN≌△DEN,進而得到MN=BM+NC

思考題:MN=NC-BM.仿(1)的思路運用截長法證明.

1MN=BM+NC.理由如下:
延長ACE,使得CE=BM,連接DE,如圖所示:


∵△BDC為等腰三角形,ABC為等邊三角形,
BD=CD,∠DBC=DCB,∠MBC=ACB=60°
BD=DC,且∠BDC=120°
∴∠DBC=DCB=30°,
∴∠ABC+DBC=ACB+DCB=60°+30°=90°,
∴∠MBD=ECD=90°
∴△MBD≌△ECDSAS),
MD=DE,∠BDM=CDE,BM=CE,
又∵∠BDC=120°,∠MDN=60°,
∴∠BDM+NDC=BDC-MDN=60°,
∴∠CDE+NDC=60°,即∠NDE=60°
∵∠MDN=NDE=60°
∴△DMN≌△DENSAS),
MN=EN
NE=NC+CE,BM=CE,
MN=BM+NC;
2MN=NC-BM
證明:在CA上截取CE=BM
由(1)知:∠DCE=DBM=90°DC=DB
CE=BM,
∴△DCE≌△DBM SAS
∴∠CDE=BDMDM=DE
∴∠MDN=EDN=60°
∴△MDN≌△EDN SAS
NM=NE
NE=NC-CE,CE=BM,
MN=NC-BM

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名稱

圖形

內(nèi)角和

三角形

180°

四邊形

2180°=360°

五邊形

六邊形

...

...

……

(2)根據(jù)上面的表格,請你猜一猜,七邊形的內(nèi)角和等于 ;…….如果一個多邊形有n條邊,請你用含有n的代數(shù)式表示這個多邊形的內(nèi)角和

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