Question

小明將兩個全等的等腰三角板擺放在一起，其中∠ACB=∠DFE=90°，AB=DE=12．
（1）如圖1，當(dāng)D與C點(diǎn)重合時，CF、CE分別與AB交于M、N兩點(diǎn)，且量得AM=3，BN=4，小明發(fā)現(xiàn)AM、MN、BN存在某種數(shù)量關(guān)系，他想：當(dāng)AM=a，BN=b，MN=c時，這種數(shù)量關(guān)系仍成立嗎？請你一起探究并證明這個結(jié)論；
（2）如圖2，當(dāng)?shù)妊黂t△DEF的頂點(diǎn)D恰好在AB的中點(diǎn)處時，DE、DF分別與AC、BC交于M、N，小明經(jīng)測量后猜想，AM•BN是一個定值．你認(rèn)可他的猜想嗎？說明理由，若猜想成立，請求出該定值．
（3）在（2）的條件下，△DEF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，DE、DF所在的直線分別交線段AC和線段BC于點(diǎn)M、N，若CN=2

2

，求MN的長．

Answer 1

考點(diǎn)：相似形綜合題,全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理

專題：綜合題

分析：（1）由小明量得的數(shù)據(jù)可猜想當(dāng)AM=a，BN=b，MN=c時，有a²+b²=c²．可過點(diǎn)B作BG⊥AB，并使得BG=AM，連接CG、GN，從而將AM、NB歸結(jié)到Rt△NBG中，只需證MN=GN，只需證△MCN≌△GCN，只需證∠MCN=∠NCG，CM=CG，只需證△AMC≌△BGC即可．
（2）由∠A=∠EDF=∠B=45°可證△AMD∽△BDN，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得AM•BN=AD•BD=36，從而解決問題．
（3）由條件可求出CA、CB的長，然后由CN可求出BN，再借用（2）中的結(jié)論可求出AM，從而可求出CM，在Rt△MCN中運(yùn)用勾股定理就可解決問題．

解答：解：（1）∵AM=3，BN=4，AB=12，
∴MN=AB-AM-BN=12-3-4=5，
∴AM²+BN²=MN²．
猜想：當(dāng)AM=a，BN=b，MN=c時，有a²+b²=c²．
理由如下：
過點(diǎn)B作BG⊥AB，并使得BG=AM，連接CG、GN，如圖1，
則有∠ABG=90°．
∵∠ABC=45°，
∴∠GBC=45°．
在△AMC和△BGC中，

AM=BG ∠MAC=∠GBC AC=BC

，
∴△AMC≌△BGC（SAS），
∴CM=CG，∠ACM=∠BCG，
∴∠MCG=∠ACB=90°．
∵∠MCN=45°，
∴∠NCG=∠MCG-∠MCN=45°，
∴∠MCN=∠NCG．
在△MCN和△GCN中，

CM=CG ∠MCN=∠NCG CN=CN

，
∴△MCN≌△GCN（SAS），
∴MN=GN．
在Rt△NBG中，
∵∠NBG=90°，
∴BN²+BG²=GN²，
∴BN²+AM²=MN²．

（2）小明的猜想正確．
理由如下：
如圖2，
由題可得∠A=∠MDN=∠B=45°，
∵∠MDB=∠A+∠AMD=∠MDN+∠NDB，
∴∠AMD=∠NDB，
∴△AMD∽△BDN，
∴

AM

BD

=

AD

BN

，
∴AM•BN=AD•BD．
∵D為AB的中點(diǎn)，AB=12，
∴AD=BD=6，
∴AM•BN=36．
∴AM•BN是一個定值，該定值為36．

（3）連接MN，如圖3，
在Rt△ACB中，
∵∠C=90°，AC=BC，AB=12，
∴AC=BC=6

2

．
∵CN=2

2

，∴BN=4

2

．
∵AM•BN=36．
∴AM=

9 2

2

，
∴CM=CA-AM=6

2

-

9 2

2

=

3 2

2

．
在Rt△MCN中，
∵∠C=90°，
∴MN²=CM²+CN²=（

3 2

2

）²+（2

2

）²
=.

18

4

+8=

50

4

，
∴MN=

5 2

2

．
∴MN的長為

5 2

2

．

點(diǎn)評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，將AM、BN、MN歸結(jié)到同一個直角三角形中是解決第（1）小題的關(guān)鍵，證明△AMD∽△BDN是解決第（2）小題的關(guān)鍵，運(yùn)用（2）中的結(jié)論則是解決第（3）小題的關(guān)鍵．