Question

已知拋物線y=-x²+

4 3

3

x與x軸交于O點和B點，與直線y=kx在第一象限交于點A（

3

，1）．
（1）求k的值及∠AOB的度數(shù)．
（2）現(xiàn)有一個半徑為2的動圓，其圓心P在拋物線上運動，當⊙P恰好與y軸相切時，求P點坐標．
（3）在拋物線上是否存在一點M，使得以M為圓心的⊙M恰好與y軸和上述直線y=kx都相切？若存在，求點M的坐標及⊙M的半徑；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）將點A坐標代入直線OA的解析式中即可確定k的值；由點A的坐標，先求出∠AOB的正弦值，由此確定∠AOB的度數(shù)．
（2）⊙P與y軸相切時，點P的橫坐標的絕對值等于⊙P的半徑長，將點P的橫坐標代入拋物線的解析式中，即可確定點P的坐標．
（3）⊙M與y軸、直線OA都相切，那么圓心M必為∠AOy的角平分線與拋物線的交點，根據(jù)該思路解題即可．

解答：解：（1）將點A（

3

，1）代入直線y=kx中，得：

3

k=1，k=

3

3

；
由A（

3

，1）得：tan∠AOB=

1

3

=

3

3

，則：∠AOB=30°．

（2）∵⊙P恰好與y軸相切，
∴P點到y(tǒng)軸的距離等于⊙P的半徑，即 P點的橫坐標為 2或-2；
當x=2時，y=-2²+

4 3

3

×2=-4+

8 3

3

；
當x=-2時，y=-（-2）²+

4 3

3

×（-2）=-4-

8 3

3

；
∴P（2，-4+

8 3

3

）或（-2，-4-

8 3

3

）．

（3）∵由（1）知：∠AOB=30°，則∠AOy=60°；
∴∠AOy的角平分線：y=

3

x．
聯(lián)立拋物線的解析式，得：

y= 3 x y=-x2+ 4 3 3 x

，
解得：

x1=0 y1=0

（舍去），

x2= 3 3 y2=1

，
∴點M的坐標（

3

3

，1），⊙M的半徑為

5 3

3

、

3

3

．

點評：考查了二次函數(shù)綜合題，該題主要考查的是函數(shù)圖象交點坐標的求法以及直線與圓的位置關(guān)系，題目的難度不大，后兩問中，能夠根據(jù)圓與直線相切判斷出圓心的位置是解題的關(guān)鍵．