Question

如圖，已知拋物線y=ax²+bx+3與x軸交于A、B兩點，過點A的直線l與拋物線交于點C，其中A點的坐標(biāo)是（1，0），C點的坐標(biāo)是（4，3）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）將直線l繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°，交x軸于點Q，y軸上有一點P（0，t），過點P作x軸的平行線交AC于點M，交CQ于點N，設(shè)MN的長度為y，求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）若點E是（1）中拋物線上的一個動點，且位于直線AC的下方，試求△ACE的最大面積及E點的坐標(biāo)．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答即可；
（2）利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，然后求出直線l繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°后的解析式，得出y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）根據(jù)直線AC的解析式，設(shè)出過點E與AC平行的直線，然后與拋物線解析式聯(lián)立消掉y得到關(guān)于x的一元二次方程，利用根的判別式△=0時，△ACE的面積最大，然后求出此時與AC平行的直線，然后求出點E的坐標(biāo)，并求出該直線與x軸的交點F的坐標(biāo)，再求出AF，再根據(jù)直線l與x軸的夾角為45°求出兩直線間的距離，再求出AC間的距離，然后利用三角形的面積公式列式計算即可得解．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+3經(jīng)過點A（1，0），點C（4，3），
∴

a+b+3=0 16a+4b+3=3

，
解得：

a=1 b=-4

，
所以，拋物線的解析式為y=x²-4x+3；

（2）如圖1，
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b（k≠0），
則

k+b=0 4k+b=3

，
解得：

k=1 b=-1

，
所以，直線AC的解析式為y=x-1，
∵將直線l繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°，
∴設(shè)直線QC的解析式為：y=-x+d，
將（4，3）代入得；3=-4+d，
解得：d=7，
故直線QC的解析式為：y=-x+7，
∵P（0，t），當(dāng)t＞3時，
則M（x，t），N（x₁，t），故t=x+7，t=-x₁+7，
則x=t-7，x₁=7-t，
故MN=t-7-（7-t）=2t-14，
設(shè)MN的長度為y，故y與t之間的函數(shù)關(guān)系式為：y=2t-14；
同理可得；當(dāng)t＜3時，
則M（x，t），N（x₁，t），故t=x+7，t=-x₁+7，
則x=t-7，x₁=7-t，
故MN=（7-t）-（t-7）=-2t+14，
設(shè)MN的長度為y，故y與t之間的函數(shù)關(guān)系式為：y=-2t+14，
當(dāng)t=3，則y=0，
綜上所述：當(dāng)t＞3時，y與t之間的函數(shù)關(guān)系式為：y=2t-14；
當(dāng)t＜3時，y與t之間的函數(shù)關(guān)系式為：y=-2t+14，
當(dāng)t=3，則y=0；

（3）如圖2，設(shè)過點E與直線AC平行線的直線為y=x+m，
聯(lián)立

y=x+m y=x2-4x+3

，
消掉y得，x²-5x+3-m=0，
△=（-5）²-4×1×（3-m）=0，
即m=-

13

4

時，點E到AC的距離最大，△ACE的面積最大，
此時x=

5

2

，y=

5

2

-

13

4

=-

3

4

，
∴點E的坐標(biāo)為（

5

2

，-

3

4

），
設(shè)過點E的直線與x軸交點為F，則F（

13

4

，0），
∴AF=

13

4

-1=

9

4

，
∵直線AC的解析式為y=x-1，
∴∠CAB=45°，
∴點F到AC的距離為AF•sin45°=

9

4

×

2

2

=

9 2

8

，
又∵AC=

32+(4-1)2

=3

2

，
∴△ACE的最大面積=

1

2

×3

2

×

9 2

8

=

27

8

，此時E點坐標(biāo)為（

5

2

，-

3

4

）．

點評：本題考查了二次函數(shù)綜合題以及待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，聯(lián)立兩函數(shù)解析式求交點坐標(biāo)，利用平行線確定點到直線的最大距離問題．