Question

已知拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于A（-1，0）、B（3，0）兩點，與y軸交于點C（0，-3）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）判斷△ABC是否為直角三角形，并給出理由；
（3）在x軸下方的拋物線上是否存在一點D，使四邊形ABCD的面積最大？若存在，請求出點D的坐標，并求出此時四邊形ABCD的面積；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）把點A、B、C的坐標分別代入函數(shù)解析式列出關(guān)于a、b、c的方程組，通過解方程組可以求得它們的值；
（2）利用點A、B、C的坐標求得相關(guān)線段的長度，然后由勾股定理的逆定理進行判斷；
（3）設D（m，m²-2m-3），連接OD，把四邊形ABDC的面積分成△AOC，△DOC，△DOB的面積和，求表達式的最大值．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于A（-1，0）、B（3，0）兩點，與y軸交于點C（0，-3），
∴

a-b+c=0 9+3b+c=0 c=-3

，
解得

a=1 b=-2 c=-3

，
則該拋物線的解析式為：y=x²-2x-3；

（2）△ABC不是直角三角形．理由如下：
∵A（-1，0）、B（3，0）、C（0，-3），
∴AB²=16，AC²=10，BC²=18，
∴BC²≠AB²+AC²，
∴△ABC不是直角三角形；

（3）如圖，設D（m，m²-2m-3），連接OD．
則0＜m＜3，m²-2m-3＜0
且△AOC的面積=

3

2

，△DOC的面積=

3

2

m，
△DOB的面積=-

3

2

（m²-2m-3），
∴S_{四邊形ABDC}=S_△AOC+S_△DOC+S_△DOB
=-

3

2

m²+

9

2

m+6
=-

3

2

（m-

3

2

）²+

75

8

．
∴存在點D（

3

2

，-

15

4

），使四邊形ABDC的面積最大為

75

8

．

點評：本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)圖象上點的坐標特征以及不規(guī)則圖形面積的求法等二次函數(shù)綜合題型．解答（3）題時，也可過點M作拋物線的對稱軸，將四邊形ABMC的面積轉(zhuǎn)化為求一個梯形與兩個直角三角形面積的和．