Question

15．頂角為36°的等腰三角形稱為“黃金三角形”，請你利用如圖所示的黃金三角形求sin18°的值．

Answer 1

分析 根據(jù)黃金三角形的對角為36°，其底與一腰之比為黃金比，作出黃金三角形頂角的平分線，即可得出sin18°的值

解答 解：如圖所示：∵△ABC是黃金三角形，
∴∠BAC=36°，AB=AC，BC：AB=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
作∩BAC的平分線AD，
則∠BAD=∠CAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=18°，AD⊥BC，BD=CD=$\frac{1}{2}$BC，
在Rt△ABD中，∠ADB=90°，
∴sin18°=sin∠BAD=$\frac{BD}{AB}$=$\frac{\frac{1}{2}BC}{AB}$=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{4}$．

點評 本題考查了黃金分割的定義及性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的定義；運用黃金三角形進行證明是解決問題的關(guān)鍵．