Question

【題目】如圖1，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=30°．

（1）求證：AB=AC；并請你用文字?jǐn)⑹鲋苯侨�角形的這條性質(zhì)，把它寫在下列橫線上：

；

（2）利用（1）題所得結(jié)論繼續(xù)解答下列問題：

如圖2，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=，∠C=30°．點D從點C出發(fā)沿CA方向以每秒2個單位長的速度向點A勻速運動，同時點E從點A出發(fā)沿AB方向以每秒1個單位長的速度向點B勻速運動，當(dāng)其中一個點到達(dá)終點時，另一個點也隨之停止運動．設(shè)點D、E運動的時間是t秒（t＞0）．過點D作DF⊥BC于點F，連結(jié)DE、EF．

①求證：四邊形AEFD是平行四邊形；

②當(dāng)t為何值時，△DEF為直角三角形？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①證明見解析；②或4．

【解析】試題分析：(1)延長AB至P，使BP=AB，連結(jié)PC,證明PA=CA ,所以AB= .

(2) ①證明AE,DF平行且相等. ②需分類討論，當(dāng)∠EDF=90°時，令△AED是直角三角形，∠ADE=∠C=30°，∴AD=2AE．求t值.當(dāng)∠EFD=90°時，2AD=AE．求t值.

試題解析：

（1）證明：延長AB至P，使BP=AB，連結(jié)PC,

∵ ∠ABC=90°，

∴BC是AP的垂直平分線,

∴AC=CP,

∵∠C=30°,

∴ ∠A=60°,

∴PA=CA,

∴,

這條性質(zhì)是：在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半；

（2）①在△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，DC=2t，∴DF=t，

又∵AE=t，∴AE=DF，

∵AB⊥BC，DF⊥BC，∴AE∥DF

又AE=DF，∴四邊形AEFD為平行四邊形．

②解得AB=5，AC=10

當(dāng)∠EDF=90°時，

在Rt△AED中，∠ADE=∠C=30°，∴AD=2AE．即10-2t=2t， ，

當(dāng)∠DEF=90°時，由（2）知EF∥AD，

∴∠ADE=∠DEF=90°．

∵∠A=90°-∠C=60°，

∴2AD=AE，

即

當(dāng)∠EFD=90°時，此種情況不存在，

綜上所述，當(dāng)或4時，△DEF為直角三角形．