Question

如圖，要設(shè)計(jì)一個(gè)等腰梯形的花壇，花壇上底長240m，下底長360m，上下底相距80m，在兩腰中點(diǎn)連線（虛線）處有一條橫向梯形通道，上下底之間有兩條縱向矩形通道，橫、縱通道的寬度分別為x（m）、2x（m）．
（1）當(dāng)三條通道的面積是梯形面積的

1

8

時(shí)，求每條縱向通道的寬；
（2）根據(jù)設(shè)計(jì)的要求，橫向通道的寬不能超過6m．如果修建通道的總費(fèi)用為11.4x萬元，花壇其余部分的綠化費(fèi)用為每平方米0.02萬元，那么當(dāng)橫向通道的寬度為多少m時(shí)，所建花壇的總費(fèi)用最少？最少費(fèi)用是多少萬元？

Answer 1

分析：（1）通道的形狀是梯形，所以根據(jù)梯形面積公式即可求解；需要用含x的代數(shù)式表示出三條通道的總面積，然后求出梯形的總面積，從而根據(jù)題意列方程求解，在求解過程中要注意三條通道有重合部分；
（2）首先要根據(jù)題意表示出修建花壇的總費(fèi)用與通道的寬度之間的函數(shù)關(guān)系式，從而轉(zhuǎn)化成函數(shù)的最值問題進(jìn)行求解．

解答：解：（1）橫向通道的面積為：

240+360

2

x=300x（m²）；
依題意：2×80×2x+300x-4x²=

1

8

×

240+360

2

×80，
整理得：x²-155x+750=0，
x₁=5，x₂=150（不符合題意，舍去），
∴通道的寬為5m；

（2）設(shè)建設(shè)花壇的總費(fèi)用為y萬元．
則y=0.02×[

240+360

2

×80-（-4x²+620x）]+11.4x，
=0.08x²-x+480，
當(dāng)x=-

b

2a

=6.25時(shí)，y的值最�。�
∵根據(jù)設(shè)計(jì)的要求，通道的寬不能超過6m，
∴當(dāng)x=6m時(shí)，總費(fèi)用最少．
即最少費(fèi)用為：0.08×6²-6+480=476.88萬元．

點(diǎn)評：此題主要考查了屬于幾何型二次函數(shù)的應(yīng)用題，二次函數(shù)的應(yīng)用題中考的必考的知識(shí)點(diǎn)，往往以壓軸題的身份出現(xiàn)，解決這類問題的關(guān)鍵是函數(shù)思想的確立、函數(shù)模型的建立．考查的能力有轉(zhuǎn)化能力、閱讀理解能力；考查的數(shù)學(xué)思想主要是數(shù)學(xué)建模思想、數(shù)形結(jié)合思想．