Question

已知：△ABC中，AD為中線，∠BAD=60°，AB=10，BC=4

19

，求AC的長．

Answer 1

分析：由條件知，AC的位置分兩種情況，一種為從點向AD作的垂線不三角形的內(nèi)部，另一種是該線在三角形的外部，因而分別利用銳角三角函數(shù)的概念，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)來計算．

解答：解：分別過B、C作BF⊥AD于F，CE⊥AD于E，
在Rt△AFB中，∠BAF=60°，AB=10，
sin∠BAF=

BF

AB

，
∴BF=ABsin∠BAF=5

3

．
cos∠BAF=

AF

AB

，
∴AF=ABcos∠BAF=5．
BC=4

19

，AD為中線，
∴BD=DC=2

19

．
在Rt△BFD中，DF=

BD2-BF2

=

(2 17 )2-(5 3 )2

=1，
∵D為BC中點，∴BD=CD，
又CE⊥AD，BF⊥AD，
∴∠ADC=∠BDF．
∴△BDF≌△CDE（AAS）．
∴DE=DF=1．
∴AE=5-2=3，CE=BF=5

3

．
在Rt△AEC中，AC=

AE2+CE2

=

32+(5 3 )2

=2

21

，
又若△ABC'時，AE'=5+2=7，C'E'=5

3

，
在Rt△AE'C'中，A'C'=

AE′2+C′E′2

=2

31

，
∴AC的長為2

31

或2

21

．

點評：考查綜合應(yīng)用解直角三角形、直角三角形性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，也考查邏輯推理能力和運算能力．注意要分類討論．