Question

如圖，已知頂點(diǎn)為H的拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，D為OC的中點(diǎn)，直線AD交拋物線于點(diǎn)E（2，6），且△ABE與△ABC的面積之比3：2．
（1）求拋物線的解析式；
（2）拋物線的對(duì)稱軸與直線AE交于點(diǎn)N，與x軸相交于點(diǎn)F，點(diǎn)P為對(duì)稱軸右側(cè)拋物線上一點(diǎn)，且S_△PDN=4S_△HDN，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）將拋物線向下平移n個(gè)單位后，其頂點(diǎn)為M，當(dāng)∠AME≥90°時(shí)，求n的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）根據(jù)底邊相等的三角形的面積的比等于高的比求出OC的長(zhǎng)，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再根據(jù)中點(diǎn)定義求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出直線AE的解析式，再求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答；
（2）根據(jù)拋物線解析式求出頂點(diǎn)H的坐標(biāo)，再求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，根據(jù)底邊相等的三角形的面積的比等于對(duì)應(yīng)高的比求出點(diǎn)P到DN的距離等于點(diǎn)H到DN的距離的4倍，再根據(jù)平行線分線段成比例定理求出過點(diǎn)P平行于AE的直線與對(duì)稱軸交點(diǎn)到點(diǎn)N的距離為5，即為點(diǎn)F，再求出直線PF的解析式，聯(lián)立拋物線解析式求解即可；
（3）過點(diǎn)E作EG⊥MF于G，分①點(diǎn)M在點(diǎn)G上方時(shí)，利用△MEG和△AMF相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出MF，再根據(jù)n=FH-MF求出向下平移的最小距離；②點(diǎn)M在點(diǎn)G下方時(shí)，利用△AMF和△MEG相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出MF，再根據(jù)n=FH+MF求出向下平移的最大距離，然后寫出n的取值范圍即可．

解答：解：（1）∵△ABE與△ABC的面積之比3：2，點(diǎn)E（2，6），
∴OC=

6

3

×2=4，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，4），
∵D為OC的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，2），
設(shè)直線AE的解析式為y=kx+b（k≠0），
則

2k+b=6 b=2

，
解得

k=2 b=2

，
∴直線AE的解析式為y=2x+2，
令y=0，則2x+2=0，
解得x=-1，
∴點(diǎn)A（-1，0），
∵拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（-1，0），C（0，4），E（2，6），
∴

a-b+c=0 c=4 4a+2b+c=6

，
解得

a=-1 b=3 c=4

，
∴拋物線的解析式y(tǒng)=-x²+3x+4；

（2）∵y=-x²+3x+4=-（x-

3

2

）²+

25

4

，
∴拋物線的頂點(diǎn)H的坐標(biāo)為（

3

2

，

25

4

），
∵y=2×

3

2

+2=5，
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（

3

2

，5），
∵S_△PDN=4S_△HDN，
∴點(diǎn)P到DN的距離等于點(diǎn)H到DN的距離的4倍，
∵HN=

25

4

-5=

5

4

，

5

4

×4，
∴過點(diǎn)F平行于直線AE的直線與拋物線的交點(diǎn)即為點(diǎn)P，
設(shè)直線PF的解析式為y=2x+b，
則2×

3

2

+b=0，
解得b=-3，
∴直線PF的解析式為y=2x-3，
聯(lián)立

y=2x-3 y=-x2+3x+4

，
解得

x1= 1+ 29 2 y1= 29 -2

，

x2= 1- 29 2 y2=- 29 -2

，
∵點(diǎn)P為對(duì)稱軸右側(cè)拋物線上一點(diǎn)，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

1+ 29

2

，

29

-2）；

（3）如圖，過點(diǎn)E作EG⊥MF于G，
①點(diǎn)M在點(diǎn)G上方時(shí)，由∠AME=90°易得△MEG∽△AMF，
∴

MG

AF

=

EG

MF

，
即

MF-6

1+ 3 2

=

2- 3 2

MF

，
整理得，4MF²-24MF-5=0，
解得MF₁=

6+ 41

2

，MF₂=

6- 41

2

（舍去），
∴向下平移的最小距離n=FH-MF=

25

4

-

6+ 41

2

=

13-2 41

4

，
②點(diǎn)M在點(diǎn)G下方時(shí)，由∠AME=90°易得△AMF∽△MEG，
∴

MG

AF

=

EG

MF

，
即

MF+6

1+ 3 2

=

2- 3 2

MF

，
整理得，4MF²+24MF-5=0，
解得MF₁=

-6+ 41

2

，MF₂=

-6- 41

2

（舍去）
∴向下平移的最大距離n=FH+MF=

25

4

+

-6+ 41

2

=

13+2 41

4

，
綜上所述，當(dāng)∠AME≥90°時(shí)，n的取值范圍是

13-2 41

4

≤m≤

13+2 41

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了三角形的面積，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，（2）利用三角形的面積和平行線分線段成比例定理求出過點(diǎn)P與AE平行的直線經(jīng)過點(diǎn)F是解題的關(guān)鍵，（3）作輔助線并根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求出平移的最大距離和最小距離是解題的關(guān)鍵．