【題目】閱讀下列材料: 如圖1,圓的概念:在平面內(nèi),線段PA繞它固定的一個端點P旋轉(zhuǎn)一周,另一個端點A所形成的圖形叫做圓.就是說,到某個定點等于定長的所有點在同一個圓上,圓心在P(a,b),半徑為r的圓的方程可以寫為:(x﹣a)2+(y﹣b)2=r2 , 如:圓心在P(2,﹣1),半徑為5的圓方程為:(x﹣2)2+(y+1)2=25
(1)填空: ①以A(3,0)為圓心,1為半徑的圓的方程為;
②以B(﹣1,﹣2)為圓心, 為半徑的圓的方程為 .
(2)根據(jù)以上材料解決下列問題: 如圖2,以B(﹣6,0)為圓心的圓與y軸相切于原點,C是⊙B上一點,連接OC,作BD⊥OC垂足為D,延長BD交y軸于點E,已知sin∠AOC= .
①連接EC,證明EC是⊙B的切線;
②在BE上是否存在一點P,使PB=PC=PE=PO?若存在,求P點坐標(biāo),并寫出以P為圓心,以PB為半徑的⊙P的方程;若不存在,說明理由.
【答案】
(1)(x﹣3)2+y2=1;(x+1)2+(y+2)2=3
(2)解:①證明:∵BD⊥OC,
∴CD=OD,
∴BE垂直平分OC,
∴EO=EC,
∴∠EOC=∠ECO,
∵BO=BC,
∴∠BOC=∠BCO,
∴∠EOC+∠BOC=∠ECO+∠BCO,
∴∠BOE=∠BCE=90°,
∴BC⊥CE,
∴EC是⊙B的切線;
②存在.
∵∠BOE=∠BCE=90°,
∴點C和點O偶在以BE為直徑的圓上,
∴當(dāng)P點為BE的中點時,滿足PB=PC=PE=PO,
∵B點坐標(biāo)為(﹣6,0),
∴OB=6,
∵∠AOC+∠DOE=90°,∠DOE+∠BEO=90°,
∴∠BEO=∠AOC,
∴sin∠BEO=sin∠AOC= ,
在Rt△BOE中,sin∠BEO= ,
∴ = ,
∴BE=10,
∴OE= =8,
∴E點坐標(biāo)為(0,8),
∴線段AB的中點P的坐標(biāo)為(﹣3,4),PB=5,
∴以P(﹣3,4)為圓心,以5為半徑的⊙P的方程為(x+3)2+(y﹣4)2=25.
【解析】(1)解:①以A(3,0)為圓心,1為半徑的圓的方程為(x﹣3)2+y2=1; ②以B(﹣1,﹣2)為圓心, 為半徑的圓的方程為(x+1)2+(y+2)2=3;
故答案為(x﹣3)2+y2=1;(x+1)2+(y+2)2=3;
(1)根據(jù)閱讀材料中的定義求解;(2)①根據(jù)垂徑定理由BD⊥OC得到CD=OD,則BE垂直平分OC,再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得EO=EC,則∠EOC=∠ECO,加上∠BOC=∠BCO,易得∠BOE=∠BCE=90°,然后根據(jù)切線的判定定理得到EC是⊙B的切線;②由∠BOE=∠BCE=90°,根據(jù)圓周角定理得點C和點O偶在以BE為直徑的圓上,即當(dāng)P點為BE的中點時,滿足PB=PC=PE=PO,利用同角的余角相等得∠BOE=∠AOC,則sin∠BOE=sin∠AOC= ,在Rt△BOE中,利用正弦的定義計算出BE=10,利用勾股定理計算出OE=8,則E點坐標(biāo)為(0,8),于是得到線段AB的中點P的坐標(biāo)為(﹣3,4),PB=5,然后寫出以P(﹣3,4)為圓心,以5為半徑的⊙P的方程.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(1)探究證明:
在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直線MN經(jīng)過點C,且AD⊥MN于點D,BE⊥MN于點E,當(dāng)直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時,求證:DE=AD+BE;
(2)發(fā)現(xiàn)探究:
當(dāng)直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時,(1)中的結(jié)論是否成立,如果不成立,DE、AD、BE應(yīng)滿足的關(guān)系是_____.
(3)解決問題:
當(dāng)直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時,若BE=8,AD=2,請直接寫出DE的長為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直線AB與CD相交于點O,OE平分∠AOD,OF平分∠BOD.
(1)若∠AOC=70°,求∠DOE和∠EOF的度數(shù);
(2)請寫出圖中∠AOD的補角和∠AOE的余角.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在正方形網(wǎng)格中,點A、B、C、M、N都在格點上(不寫作法)
(1)作△ABC關(guān)于直線MN對稱的△A’B’C’:
(2)將△ABC向上平移兩個單位得△A1B1C1,畫出△A1B1C1;
(3)在直線MN上找一點P,使AP+CP的值最。
(4)若網(wǎng)格中最小正方形的邊長為1,直接寫出△ABC的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,在ABCD中,點E,F(xiàn)在對角線BD上,且BE=DF,
求證:(1)AE=CF;(2)四邊形AECF是平行四邊形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩人兩次同時在一家糧店購買大米,兩次大米的價格分別為每千克a元和b元(a≠b).甲每次買100千克大米,乙每次買100元大米.
(1)用含a、b的代數(shù)式表示:甲兩次購買大米共需付款 元,乙兩次共購買 千克大米.若甲兩次購買大米的平均單價為每千克Q1元,乙兩次購買大米的平均單價為每千克Q2元.則:Q1= ;Q2= .
(2)若規(guī)定誰兩次購糧的平均價格低,誰購糧的方式就更合理,請你判斷比較甲、乙兩人的購糧方式,哪一個更合理,并說明你的理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】梅嶺中學(xué)為了解“課程選修”的情況,對報名參加“藝術(shù)欣賞”,“科技制作”,“數(shù)學(xué)思維”,“閱讀寫作”這四個選修項目的學(xué)生(每人限報一課)進行抽樣調(diào)查,下面是根據(jù)收集的數(shù)據(jù)繪制的不完整的統(tǒng)計圖,請根據(jù)圖中提供的信息,解答下面的問題:
(1)此次共調(diào)查了______名學(xué)生,扇形統(tǒng)計圖中“藝術(shù)欣賞”部分的圓心角是______度;
(2)請把這個條形統(tǒng)計圖補充完整;
(3)現(xiàn)該校共有800名學(xué)生報名參加這四個選修項目,請你估計其中有多少名學(xué)生選修 “科技制作”項目.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:線段CB=6,點A在線段BC上,且CA=2,以AB為直徑做半圓O,點D為半圓O上的動點,以CD為邊向外作等邊△CDE.
(1)發(fā)現(xiàn):CD的最小值是 , 最大值是 , △CBD面積的最大值是 .
(2)思考:如圖1,當(dāng)線段CD所在直線與半圓O相切時,求弧BD的長.
(3)探究:如圖2,當(dāng)線段CD與半圓O有兩個公共點D,M時,若CM=DM,求等邊△CDE面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(閱讀材料)“九宮圖”源于我國古代夏禹時期的“洛書”圖1所示,是世界上最早的矩陣,又稱“幻方”,用今天的數(shù)學(xué)符號翻譯出來,“洛書”就是一個三階“幻方”圖2所示.
(規(guī)律總結(jié))觀察圖1、圖2,根據(jù)“九宮圖”中各數(shù)字之間的關(guān)系,我們可以總結(jié)出“幻方”需要滿足的條件是______;若圖3,是一個“幻方”,則______.
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