Question

△ABC中，AB=AC，AD∥BC，E在AB上，若DE=DC，求證：∠AED=∠BCE．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質,等腰三角形的性質

專題：證明題

分析：作DM⊥AB延長線于M點，DN⊥AC于N點，可證RT△DME≌RT△DNC，得∠AED=∠DCA，再證明∠ACB=∠DCE，即可解題．

解答：解：作DM⊥AB延長線于M點，DN⊥AC于N點，

∵AD∥BC，
∴∠MAD=∠B，∠DAN=∠ACB，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∴∠MAD=∠DAN，
∴DM=DN，
在RT△DME和RT△DNC中，

DM=DN DE=DC

，
∴RT△DME≌RT△DNC（HL），
∴∠AED=∠DCA，∠MDE=∠NDC，
∴∠MDN=∠EDC，
∵∠MAD=∠ABC，∠DAN=∠ACB，∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，∠DMA+∠DNA+∠MAN+∠MDN=360°，
∴∠MDN=∠BAC，
∴∠EDC=∠BAC，
∴∠ACB=∠DCE，
∵∠BCE+∠ACE=∠ACB，∠ACD+∠ACE=∠DCE，
∴∠DCA=∠BCE，
∴∠AED=∠BCE．

點評：此題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應角、對應邊相等的性質，本題中求證RT△DME≌RT△DNC是解題的關鍵．